Trigonometria Esempi

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Passaggio 4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune.

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.6

Somma $9$ e $16$ .

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ per $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.2.2.1.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.2.1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ per $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.2

Sposta $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Passaggio 7.2.2.1.5.3

Eleva $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Passaggio 7.2.2.1.5.4

Eleva $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

Passaggio 7.2.2.1.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7

Riscrivi ${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ come $25 - 12 \sqrt{3}$ .

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Passaggio 7.2.2.1.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ come ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.1.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.7.5

Semplifica.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

Passaggio 7.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ per $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

Passaggio 7.2.2.1.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ per $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

Passaggio 7.2.2.1.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.2.2.1.8.1

Sposta $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

Passaggio 7.2.2.1.8.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

Passaggio 7.2.2.1.8.3

Semplifica.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

Passaggio 7.2.2.1.8.4

Moltiplica $2$ per $193$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

Passaggio 7.2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Passaggio 7.2.2.1.10

Sposta $25$ alla sinistra di $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Passaggio 7.2.2.1.11

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

Passaggio 7.2.2.1.12

$3$ e $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

Passaggio 7.2.2.1.13

Sposta $3$ alla sinistra di $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ .

$A = 46.93568657$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 46.93568657$

Passaggio 7.6

Sottrai $46.93568657$ da $180$ .

$A = 133.06431342$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 46.93568657$ .

$A = 46.93568657, 133.06431342$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$46.93568657 + 30 + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 9.1

Somma $46.93568657$ e $30$ .

$76.93568657 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $76.93568657$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 76.93568657$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $76.93568657$ da $180$ .

$B = 103.06431342$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$