Trigonometria Esempi

$A = 30$ , $b = 2$ , $a = 5 \sqrt{3}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{2} = \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{\sin (B)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sin (B)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 2 \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 \frac{\frac{1}{2}}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 \sqrt{3}})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} (\frac{1}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

Passaggio 3.2.2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Passaggio 3.2.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Passaggio 3.2.2.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Passaggio 3.2.2.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

Passaggio 3.2.2.1.4.7.5

Calcola l'esponente.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

Passaggio 3.2.2.1.5

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{15})$

Passaggio 3.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{15}$ .

$\sin (B) = 2 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 3.2.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\sin (B) = 2 \frac{\sqrt{3}}{30}$

Passaggio 3.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\sin (B) = 2 \frac{\sqrt{3}}{2 (15)}$

Passaggio 3.2.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 3.2.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{15})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{15})$ .

$B = 6.63073776$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 6.63073776$

Passaggio 3.6

Sottrai $6.63073776$ da $180$ .

$B = 173.36926223$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $B = 6.63073776$ .

$B = 6.63073776, 173.36926223$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$B = 6.63073776$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$30 + C + 6.63073776 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $30$ e $6.63073776$ .

$C + 36.63073776 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $36.63073776$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 36.63073776$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $36.63073776$ da $180$ .

$C = 143.36926223$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (143.36926223)}{c} = \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (143.36926223)$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{\sin (30)}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 \sqrt{3}}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 8.1.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.1.5.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 8.1.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Passaggio 8.1.5.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Passaggio 8.1.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.1.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.1.5.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.1.5.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.1.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.1.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 8.1.5.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Passaggio 8.1.6

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{15}$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{15}$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 15}$

Passaggio 8.1.7.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{0.59665548}{c} = \frac{\sqrt{3}}{30}$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 30$

Passaggio 8.2.2

Since $c, 30$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 30$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 8.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 8.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 8.2.5

I fattori primi per $30$ sono $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

$30$ presenta fattori di $2$ e $15$ .

$2 \cdot 15$

Passaggio 8.2.5.2

$15$ presenta fattori di $3$ e $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30$

Passaggio 8.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 8.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 8.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 30$ è la parte numerica $30$ moltiplicata per la parte variabile.

$30 c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $30 c$ ciascun termine in $\frac{0.59665548}{c} = \frac{\sqrt{3}}{30}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.59665548}{c} = \frac{\sqrt{3}}{30}$ per $30 c$ .

$\frac{0.59665548}{c} (30 c) = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$30 \frac{0.59665548}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $30 \frac{0.59665548}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

$30$ e $\frac{0.59665548}{c}$ .

$\frac{30 \cdot 0.59665548}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.2.2

Moltiplica $30$ per $0.59665548$ .

$\frac{17.89966442}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{17.89966442}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$17.89966442 = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Scomponi $30$ da $30 c$ .

$17.89966442 = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 (c))$

Passaggio 8.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$17.89966442 = \frac{\sqrt{3}}{30} (30 c)$

Passaggio 8.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$17.89966442 = \sqrt{3} c$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{3} c = 17.89966442$ .

$\sqrt{3} c = 17.89966442$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} c = 17.89966442$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} c = 17.89966442$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.89966442}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.89966442}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{17.89966442}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{17.89966442}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.89966442}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{17.89966442}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.4.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$c = \frac{17.89966442 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.4.2.3.3

Moltiplica $17.89966442$ per $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{31.00312822}{3}$

Passaggio 8.4.2.3.4

Dividi $31.00312822$ per $3$ .

$c = 10.33437607$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 30$

$B = 6.63073776$

$C = 143.36926223$

$a = 5 \sqrt{3}$

$b = 2$

$c = 10.33437607$