Trigonometria Esempi

$A = 59$ , $C = 15$ , $c = 10$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (59)}{a} = \frac{\sin (15)}{10}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola $\sin (59)$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sin (15)}{10}$

Passaggio 3.1.2

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sin (45 - 30)}{10}$

Passaggio 3.1.2.2

Negazione separata.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sin (45 - (30))}{10}$

Passaggio 3.1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{10}$

Passaggio 3.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{10}$

Passaggio 3.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{10}$

Passaggio 3.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{10}$

Passaggio 3.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{10}$

Passaggio 3.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{10}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{10}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 10}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $4$ per $10$ .

$\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 40$

Passaggio 3.2.2

Since $a, 40$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 40$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

I fattori primi per $40$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

$40$ presenta fattori di $2$ e $20$ .

$2 \cdot 20$

Passaggio 3.2.5.2

$20$ presenta fattori di $2$ e $10$ .

$2 \cdot 2 \cdot 10$

Passaggio 3.2.5.3

$10$ presenta fattori di $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6.3

Moltiplica $8$ per $5$ .

$40$

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $a, 40$ è la parte numerica $40$ moltiplicata per la parte variabile.

$40 a$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $40 a$ ciascun termine in $\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.8571673}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$ per $40 a$ .

$\frac{0.8571673}{a} (40 a) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$40 \frac{0.8571673}{a} a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $40 \frac{0.8571673}{a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

$40$ e $\frac{0.8571673}{a}$ .

$\frac{40 \cdot 0.8571673}{a} a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $40$ per $0.8571673$ .

$\frac{34.28669202}{a} a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{34.28669202}{a} a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$34.28669202 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $40$ da $40 a$ .

$34.28669202 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 (a))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$34.28669202 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40} (40 a)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$34.28669202 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) a$

Passaggio 3.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$34.28669202 = \sqrt{6} a - \sqrt{2} a$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{6} a - \sqrt{2} a = 34.28669202$ .

$\sqrt{6} a - \sqrt{2} a = 34.28669202$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $a$ da $\sqrt{6} a - \sqrt{2} a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $a$ da $\sqrt{6} a$ .

$a \sqrt{6} - \sqrt{2} a = 34.28669202$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $a$ da $- \sqrt{2} a$ .

$a \sqrt{6} + a (- \sqrt{2}) = 34.28669202$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $a$ da $a \sqrt{6} + a (- \sqrt{2})$ .

$a (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 34.28669202$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $a (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 34.28669202$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $a (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 34.28669202$ .

$\frac{a (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$a = \frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.3.3.2

Moltiplica $\frac{34.28669202}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$a = \frac{34.28669202 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Passaggio 3.4.3.3.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$a = \frac{34.28669202 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3.4

Semplifica.

$a = \frac{34.28669202 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 3.4.3.3.5

Moltiplica $34.28669202$ per $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$a = \frac{132.47360531}{4}$

Passaggio 3.4.3.3.6

Dividi $132.47360531$ per $4$ .

$a = 33.11840132$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$59 + 15 + B = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $59$ e $15$ .

$74 + B = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $74$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 74$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $74$ da $180$ .

$B = 106$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $b$ .

$\frac{\sin (106)}{b} = \frac{\sin (59)}{33.11840132}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (106)$ .

$\frac{0.96126169}{b} = \frac{\sin (59)}{33.11840132}$

Passaggio 8.1.2

Calcola $\sin (59)$ .

$\frac{0.96126169}{b} = \frac{0.8571673}{33.11840132}$

Passaggio 8.1.3

Dividi $0.8571673$ per $33.11840132$ .

$\frac{0.96126169}{b} = 0.0258819$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$b, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$b$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $b$ ciascun termine in $\frac{0.96126169}{b} = 0.0258819$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.96126169}{b} = 0.0258819$ per $b$ .

$\frac{0.96126169}{b} b = 0.0258819 b$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.96126169}{b} b = 0.0258819 b$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.96126169 = 0.0258819 b$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.0258819 b = 0.96126169$ .

$0.0258819 b = 0.96126169$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.0258819$ ciascun termine in $0.0258819 b = 0.96126169$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.0258819$ ciascun termine in $0.0258819 b = 0.96126169$ .

$\frac{0.0258819 b}{0.0258819} = \frac{0.96126169}{0.0258819}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.0258819$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.0258819 b}{0.0258819} = \frac{0.96126169}{0.0258819}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{0.96126169}{0.0258819}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.96126169$ per $0.0258819$ .

$b = 37.14029991$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 59$

$B = 106$

$C = 15$

$a = 33.11840132$

$b = 37.14029991$

$c = 10$