Trigonometria Esempi

$b = 10$ , $c = 9$ , $B = 140$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $C$ .

$\frac{\sin (C)}{9} = \frac{\sin (140)}{10}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$9 \frac{\sin (C)}{9} = 9 \frac{\sin (140)}{10}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{\sin (C)}{9} = 9 \frac{\sin (140)}{10}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (C) = 9 \frac{\sin (140)}{10}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $9 \frac{\sin (140)}{10}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Calcola $\sin (140)$ .

$\sin (C) = 9 (\frac{0.6427876}{10})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $0.6427876$ per $10$ .

$\sin (C) = 9 \cdot 0.06427876$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $9$ per $0.06427876$ .

$\sin (C) = 0.57850884$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $C$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$C = \arcsin (0.57850884)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (0.57850884)$ .

$C = 35.3457312$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$C = 180 - 35.3457312$

Passaggio 3.6

Sottrai $35.3457312$ da $180$ .

$C = 144.65426879$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $C = 35.3457312$ .

$C = 35.3457312, 144.65426879$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$C = 35.3457312$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 35.3457312 + 140 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

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Passaggio 5.1

Somma $35.3457312$ e $140$ .

$A + 175.3457312 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $175.3457312$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 175.3457312$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $175.3457312$ da $180$ .

$A = 4.65426879$

Passaggio 6

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(10)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cos (4.65426879)}$

Passaggio 9

Semplifica i risultati.

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Passaggio 9.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{100 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot (9 \cos (4.65426879))}$

Passaggio 9.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{100 + 81 - 2 \cdot 10 \cdot (9 \cos (4.65426879))}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2 \cdot 10 \cdot 9$ .

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$a = \sqrt{100 + 81 - 20 \cdot (9 \cos (4.65426879))}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 20$ per $9$ .

$a = \sqrt{100 + 81 - 180 \cos (4.65426879)}$

Passaggio 9.4

Somma $100$ e $81$ .

$a = \sqrt{181 - 180 \cos (4.65426879)}$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 4.65426879$

$B = 140$

$C = 35.3457312$

$a = \sqrt{181 - 180 \cos (4.65426879)}$

$b = 10$

$c = 9$