Trigonometria Esempi

$A = 60$ , $b = 6$ , $c = 9$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(6)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cos (60)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Passaggio 4.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 6 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 12 \cdot (9 \cos (60))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 12$ per $9$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 \cos (60)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (60)$ è $\frac{1}{2}$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $- 108$ .

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 (- 54) (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune.

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 \cdot (- 54 (\frac{1}{2}))}$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$a = \sqrt{36 + 81 - 54}$

Passaggio 4.6

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Somma $36$ e $81$ .

$a = \sqrt{117 - 54}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $54$ da $117$ .

$a = \sqrt{63}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $63$ come $3^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Scomponi $9$ da $63$ .

$a = \sqrt{9 (7)}$

Passaggio 4.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$a = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Passaggio 4.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = 3 \sqrt{7}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{6} = \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{7}$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 (\sqrt{7})}$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 3 \cdot 2 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 2 \frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

$2$ e $\frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \sin (60)}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (60)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

$2$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.5.1

Riduci l'espressione $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{1}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.5.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Passaggio 7.2.2.1.7.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Passaggio 7.2.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Passaggio 7.2.2.1.8.2

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$ .

$B = 40.89339464$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 40.89339464$

Passaggio 7.6

Sottrai $40.89339464$ da $180$ .

$B = 139.10660535$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $B = 40.89339464$ .

$B = 40.89339464, 139.10660535$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$B = 40.89339464$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$60 + C + 40.89339464 = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 9.1

Somma $60$ e $40.89339464$ .

$C + 100.89339464 = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $100.89339464$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 100.89339464$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $100.89339464$ da $180$ .

$C = 79.10660535$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 60$

$B = 40.89339464$

$C = 79.10660535$

$a = 3 \sqrt{7}$

$b = 6$

$c = 9$