Trigonometria Esempi

$a = 10$ , $b = 6$ , $A = 30$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{6} = \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 \frac{\sin (30)}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\sin (B) = 2 (3) \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 3 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 \cdot 3 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 5}$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 3 \frac{\sin (30)}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.2

$3$ e $\frac{\sin (30)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{3 \sin (30)}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{3 (\frac{1}{2})}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.4

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{\frac{3}{2}}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (B) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{3}{2 \cdot 5}$

Passaggio 3.2.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\sin (B) = \frac{3}{10}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{3}{10})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{3}{10})$ .

$B = 17.45760312$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 17.45760312$

Passaggio 3.6

Sottrai $17.45760312$ da $180$ .

$B = 162.54239687$

Passaggio 3.7

La soluzione dell'equazione $B = 17.45760312$ .

$B = 17.45760312, 162.54239687$

Passaggio 3.8

Escludi il triangolo non valido.

$B = 17.45760312$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$30 + C + 17.45760312 = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 5.1

Somma $30$ e $17.45760312$ .

$C + 47.45760312 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $47.45760312$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 47.45760312$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $47.45760312$ da $180$ .

$C = 132.54239687$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (132.54239687)}{c} = \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $c$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (132.54239687)$ .

$\frac{0.73677722}{c} = \frac{\sin (30)}{10}$

Passaggio 8.1.2

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.73677722}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{10}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.73677722}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Passaggio 8.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.73677722}{c} = \frac{1}{2 \cdot 10}$

Passaggio 8.1.4.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{0.73677722}{c} = \frac{1}{20}$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 20$

Passaggio 8.2.2

Since $c, 20$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 20$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 8.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 8.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 8.2.5

I fattori primi per $20$ sono $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Passaggio 8.2.5.1

$20$ presenta fattori di $2$ e $10$ .

$2 \cdot 10$

Passaggio 8.2.5.2

$10$ presenta fattori di $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 5$

Passaggio 8.2.6.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20$

Passaggio 8.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 8.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 8.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 20$ è la parte numerica $20$ moltiplicata per la parte variabile.

$20 c$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $20 c$ ciascun termine in $\frac{0.73677722}{c} = \frac{1}{20}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.73677722}{c} = \frac{1}{20}$ per $20 c$ .

$\frac{0.73677722}{c} (20 c) = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$20 \frac{0.73677722}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $20 \frac{0.73677722}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

$20$ e $\frac{0.73677722}{c}$ .

$\frac{20 \cdot 0.73677722}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.2.2.2

Moltiplica $20$ per $0.73677722$ .

$\frac{14.73554443}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14.73554443}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$14.73554443 = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1.1

Scomponi $20$ da $20 c$ .

$14.73554443 = \frac{1}{20} (20 (c))$

Passaggio 8.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$14.73554443 = \frac{1}{20} (20 c)$

Passaggio 8.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$14.73554443 = c$

Passaggio 8.4

Riscrivi l'equazione come $c = 14.73554443$ .

$c = 14.73554443$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 30$

$B = 17.45760312$

$C = 132.54239687$

$a = 10$

$b = 6$

$c = 14.73554443$