Trigonometria Esempi

$A = 103$ , $b = 15$ , $c = 24$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$a = \sqrt{{(15)}^{2} + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 24 \cos (103)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

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Passaggio 4.1

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{225 + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Passaggio 4.2

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 15 \cdot 24$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $15$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 30 \cdot (24 \cos (103))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 30$ per $24$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cos (103)}$

Passaggio 4.4

Calcola $\cos (103)$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cdot - 0.22495105}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 720$ per $- 0.22495105$ .

$a = \sqrt{225 + 576 + 161.96475912}$

Passaggio 4.6

Somma $225$ e $576$ .

$a = \sqrt{801 + 161.96475912}$

Passaggio 4.7

Somma $801$ e $161.96475912$ .

$a = \sqrt{962.96475912}$

Passaggio 4.8

Calcola la radice.

$a = 31.03167348$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{15} = \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $B$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $15$ .

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Calcola $\sin (103)$ .

$\sin (B) = 15 (\frac{0.97437006}{31.03167348})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $0.97437006$ per $31.03167348$ .

$\sin (B) = 15 \cdot 0.03139921$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $15$ per $0.03139921$ .

$\sin (B) = 0.47098816$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (0.47098816)$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (0.47098816)$ .

$B = 28.09845964$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 28.09845964$

Passaggio 7.6

Sottrai $28.09845964$ da $180$ .

$B = 151.90154035$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $B = 28.09845964$ .

$B = 28.09845964, 151.90154035$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$B = 28.09845964$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$103 + C + 28.09845964 = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $C$ .

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Passaggio 9.1

Somma $103$ e $28.09845964$ .

$C + 131.09845964 = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $131.09845964$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 131.09845964$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $131.09845964$ da $180$ .

$C = 48.90154035$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 103$

$B = 28.09845964$

$C = 48.90154035$

$a = 31.03167348$

$b = 15$

$c = 24$