Trigonometria Esempi

$a = 2$ , $b = 5$ , $C = 30$

Passaggio 1

Usa la legge dei coseni per trovare il lato sconosciuto del triangolo, dati gli altri due lati e l'angolo incluso.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nell'equazione.

$c = \sqrt{{(2)}^{2} + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cos (30)}$

Passaggio 4

Semplifica i risultati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{4 + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Passaggio 4.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 4 \cdot (5 \cos (30))}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \cos (30)}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 (- 10) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune.

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 \cdot (- 10 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$c = \sqrt{4 + 25 - 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 4.6

Somma $4$ e $25$ .

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $A$ .

$\frac{\sin (A)}{2} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 (\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}})}$

Passaggio 7.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Passaggio 7.3

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$ .

$A = 17.01423169$

Passaggio 7.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 17.01423169$

Passaggio 7.6

Sottrai $17.01423169$ da $180$ .

$A = 162.9857683$

Passaggio 7.7

La soluzione dell'equazione $A = 17.01423169$ .

$A = 17.01423169, 162.9857683$

Passaggio 7.8

Escludi il triangolo non valido.

$A = 17.01423169$

Passaggio 8

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$17.01423169 + 30 + B = 180$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $17.01423169$ e $30$ .

$47.01423169 + B = 180$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $47.01423169$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 180 - 47.01423169$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $47.01423169$ da $180$ .

$B = 132.9857683$

Passaggio 10

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 17.01423169$

$B = 132.9857683$

$C = 30$

$a = 2$

$b = 5$

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$