Trigonometria Esempi

$A = 15$ , $a = 4$ , $b = 5$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Negazione separata.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 4.2.2.1.4

$5$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 18.87616421$

Passaggio 4.6

Sottrai $18.87616421$ da $180$ .

$B = 161.12383578$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$15 + C + 18.87616421 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $15$ e $18.87616421$ .

$C + 33.87616421 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $33.87616421$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 33.87616421$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $33.87616421$ da $180$ .

$C = 146.12383578$

Passaggio 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (146.12383578)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Calcola $\sin (146.12383578)$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 9.1.2

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Passaggio 9.1.2.2

Negazione separata.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Passaggio 9.1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 9.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 9.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 9.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Passaggio 9.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 9.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 16$

Passaggio 9.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 9.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 9.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 9.2.5

I fattori primi per $16$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

$16$ presenta fattori di $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Passaggio 9.2.5.2

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Passaggio 9.2.5.3

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 9.2.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 2$

Passaggio 9.2.6.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16$

Passaggio 9.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 9.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 9.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 16$ è la parte numerica $16$ moltiplicata per la parte variabile.

$16 c$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $16 c$ ciascun termine in $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ per $16 c$ .

$\frac{0.55739976}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 \frac{0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.2.2

Moltiplica $16 \frac{0.55739976}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

$16$ e $\frac{0.55739976}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.2.2.2

Moltiplica $16$ per $0.55739976$ .

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Scomponi $16$ da $16 c$ .

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Passaggio 9.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 9.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$8.91839623 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Passaggio 9.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$8.91839623 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Passaggio 9.4.2

Scomponi $c$ da $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $c$ da $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Passaggio 9.4.2.2

Scomponi $c$ da $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 8.91839623$

Passaggio 9.4.2.3

Scomponi $c$ da $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$

Passaggio 9.4.3

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.1

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 9.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 9.4.3.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 9.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Passaggio 9.4.3.3.2

Moltiplica $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Passaggio 9.4.3.3.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.4.3.3.4

Semplifica.

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 9.4.3.3.5

Moltiplica $8.91839623$ per $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{34.45803701}{4}$

Passaggio 9.4.3.3.6

Dividi $34.45803701$ per $4$ .

$c = 8.61450925$

Passaggio 10

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 13

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 13.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Semplifica $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.2

Negazione separata.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 13.2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 13.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 13.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 13.2.2.1.4

$5$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 13.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Passaggio 13.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Passaggio 13.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 18.87616421$

Passaggio 13.6

Sottrai $18.87616421$ da $180$ .

$B = 161.12383578$

Passaggio 13.7

La soluzione dell'equazione $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Passaggio 14

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$15 + C + 161.12383578 = 180$

Passaggio 15

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $15$ e $161.12383578$ .

$C + 176.12383578 = 180$

Passaggio 15.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $176.12383578$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 176.12383578$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $176.12383578$ da $180$ .

$C = 3.87616421$

Passaggio 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 17

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (3.87616421)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Calcola $\sin (3.87616421)$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Passaggio 18.1.2

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Passaggio 18.1.2.2

Negazione separata.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Passaggio 18.1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 18.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 18.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Passaggio 18.1.2.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Passaggio 18.1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 18.1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 18.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 18.1.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 18.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 16$

Passaggio 18.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Passaggio 18.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 18.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 18.2.5

I fattori primi per $16$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.5.1

$16$ presenta fattori di $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Passaggio 18.2.5.2

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Passaggio 18.2.5.3

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 18.2.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 2$

Passaggio 18.2.6.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16$

Passaggio 18.2.7

Il fattore di $c^{1}$ è $c$ stesso.

$c^{1} = c$

$c$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 18.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $c^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$c$

Passaggio 18.2.9

Il minimo comune multiplo di $c, 16$ è la parte numerica $16$ moltiplicata per la parte variabile.

$16 c$

Passaggio 18.3

Moltiplica per $16 c$ ciascun termine in $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ per $16 c$ .

$\frac{0.06760023}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 \frac{0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.2.2

Moltiplica $16 \frac{0.06760023}{c}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.1

$16$ e $\frac{0.06760023}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.2.2.2

Moltiplica $16$ per $0.06760023$ .

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.2.3

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.1.1

Scomponi $16$ da $16 c$ .

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Passaggio 18.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Passaggio 18.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$1.08160376 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Passaggio 18.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$1.08160376 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Passaggio 18.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Passaggio 18.4.2

Scomponi $c$ da $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Scomponi $c$ da $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Passaggio 18.4.2.2

Scomponi $c$ da $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 1.08160376$

Passaggio 18.4.2.3

Scomponi $c$ da $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$

Passaggio 18.4.3

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.3.1

Dividi per $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ciascun termine in $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 18.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 18.4.3.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Passaggio 18.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Passaggio 18.4.3.3.2

Moltiplica $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Passaggio 18.4.3.3.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 18.4.3.3.4

Semplifica.

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 18.4.3.3.5

Moltiplica $1.08160376$ per $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{4.17899603}{4}$

Passaggio 18.4.3.3.6

Dividi $4.17899603$ per $4$ .

$c = 1.044749$

Passaggio 19

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 15$

$B = 18.87616421$

$C = 146.12383578$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 8.61450925$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 15$

$B = 161.12383578$

$C = 3.87616421$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 1.044749$