Trigonometria Esempi

$y = - 2 \sin (\frac{x}{3} + π) + 2$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 2$

$b = \frac{1}{3}$

$c = - π$

$d = 2$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $2$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $- 2 \sin (\frac{x}{3} + π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$6 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- π \cdot 3$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

Sfasamento: $- 3 π$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $2$

Periodo: $6 π$

Sfasamento: $- 3 π$ ( $3 π$ a sinistra)

Traslazione verticale: $2$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3 π$ nell'espressione.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{- 3 π}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 π$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3 (1)} + π) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3 \cdot 1} + π) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{- π}{1} + π) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.1.2.4

Dividi $- π$ per $1$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (- π + π) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (0) + 2$

Passaggio 6.1.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- 3 π) = - 2 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (- 3 π) = 0 + 2$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (- 3 π) = 2$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- \frac{3 π}{2}}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 π}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- 3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 3 π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π}{2} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + π) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Somma $- π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Passaggio 6.2.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot 1 + 2$

Passaggio 6.2.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 \sin (\frac{0}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Dividi $0$ per $3$ .

$f (0) = - 2 \sin (0 + π) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.2

Somma $0$ e $π$ .

$f (0) = - 2 \sin (π) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (0) = - 2 \sin (0) + 2$

Passaggio 6.3.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.3.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Passaggio 6.4.2.1.8

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 6.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 + 2$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 4$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = - 2 \sin (\frac{3 π}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 π) = - 2 \sin (\frac{3 π}{3} + π) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (π + π) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.2

Somma $π$ e $π$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (2 π) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (0) + 2$

Passaggio 6.5.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.5.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (3 π) = 0 + 2$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (3 π) = 2$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 2 \\ - \frac{3 π}{2} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{2} & 4 \\ 3 π & 2 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $2$

Periodo: $6 π$

Sfasamento: $- 3 π$ ( $3 π$ a sinistra)

Traslazione verticale: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 2 \\ - \frac{3 π}{2} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{2} & 4 \\ 3 π & 2 \end{array}$

Passaggio 8