Trigonometria Esempi

$4 \cos^{2} (θ) = 1$

Passaggio 1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos^{2} (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos^{2} (θ) = 1$ .

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (θ)$ per $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 6.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 6.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.4

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 7.4.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Combina $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$