Trigonometria Esempi

$(- 5, 1)$ , $(8, 6)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 \cdot 8 + 1 \cdot 6$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 40 + 1 \cdot 6$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 40 + 6$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 40$ e $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 34$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 1^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 1}$

Passaggio 3.2.3

Somma $25$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{26}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 6^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 36}$

Passaggio 4.2.3

Somma $64$ e $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| b⃗ | = 10$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 34}{\sqrt{26} \cdot 10})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $- 34$ e $10$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $- 34$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 17)}{\sqrt{26} \cdot 10})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $\sqrt{26} \cdot 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 17)}{2 (\sqrt{26} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 17}{2 (\sqrt{26} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 17}{\sqrt{26} \cdot 5})$

Passaggio 6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{26}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 17}{5 \sqrt{26}})$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{17}{5 \sqrt{26}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{17}{5 \sqrt{26}}$ per $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{17}{5 \sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}))$

Passaggio 6.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{17}{5 \sqrt{26}}$ per $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \sqrt{26} \sqrt{26}})$

Passaggio 6.5.2

Sposta $\sqrt{26}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 (\sqrt{26} \sqrt{26})})$

Passaggio 6.5.3

Eleva $\sqrt{26}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 ({\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26})})$

Passaggio 6.5.4

Eleva $\sqrt{26}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 ({\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1})})$

Passaggio 6.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {\sqrt{26}}^{2}})$

Passaggio 6.5.7

Riscrivi ${\sqrt{26}}^{2}$ come $26$ .

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Passaggio 6.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{26}$ come $26^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.5.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{1}})$

Passaggio 6.5.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26})$

Passaggio 6.6

Moltiplica $5$ per $26$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{130})$

Passaggio 6.7

Calcola $\arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{130})$ .

$θ = 131.82016988$