Trigonometria Esempi

$u = (2, - 1)$ , $v = (- 5, - 4)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 5 - - 4$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 - - 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 4$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 10$ e $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Passaggio 3.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 16}$

Passaggio 4.2.3

Somma $25$ e $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{41}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{5} \sqrt{41}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{5 \cdot 41}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $5$ per $41$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{205}})$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{6}{\sqrt{205}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{205}}$ per $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{6}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}))$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{205}}$ per $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

Passaggio 6.4.2

Eleva $\sqrt{205}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{205}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

Passaggio 6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{205}}^{2}$ come $205$ .

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Passaggio 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{205}$ come $205^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{1}})$

Passaggio 6.4.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205})$

Passaggio 6.5

Calcola $\arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205})$ .

$θ = 114.77514056$