Trigonometria Esempi

$(6, 10)$ , $(12, 5)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $6$ per $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $10$ per $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Passaggio 2.2.2

Somma $72$ e $50$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Passaggio 3.2.3

Somma $36$ e $100$ .

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $136$ come $2^{2} \cdot 34$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $4$ da $136$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Passaggio 4.2.3

Somma $144$ e $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| b⃗ | = 13$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $122$ e $2$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $122$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Passaggio 6.2

Sposta $13$ alla sinistra di $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ per $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ per $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Passaggio 6.4.2

Sposta $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{34}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Passaggio 6.4.4

Eleva $\sqrt{34}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Passaggio 6.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Passaggio 6.4.7

Riscrivi ${\sqrt{34}}^{2}$ come $34$ .

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Passaggio 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{34}$ come $34^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Passaggio 6.4.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $13$ per $34$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

$θ = 36.41637851$