Trigonometria Esempi

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

0

$0$ per

7

$7$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Passaggio 2.2.2

Somma

- 2

$- 2$ e

0

$0$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Passaggio 3

Trova la grandezza di

a⃗

$a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Passaggio 3.2.3

Somma

4

$4$ e

0

$0$ .

| a⃗ | = \sqrt{4}

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

Passaggio 4

Trova la grandezza di

b⃗

$b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva

7

$7$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Passaggio 4.2.3

Somma

1

$1$ e

49

$49$ .

| b⃗ | = \sqrt{50}

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi

50

$50$ come

5^{2} \cdot 2

$5^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi

25

$25$ da

50

$50$ .

| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi

25

$25$ come

5^{2}

$5^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi

2

$2$ da

- 2

$- 2$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Passaggio 6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Passaggio 6.4.2

Sposta

$\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Passaggio 6.4.3

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Passaggio 6.4.4

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Passaggio 6.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.6

Somma

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Passaggio 6.4.7

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

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Passaggio 6.4.7.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Passaggio 6.4.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Passaggio 6.5

Moltiplica

$5$ per

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Passaggio 6.6

Calcola

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$