Trigonometria Esempi

$(1, 2)$ , $(- 2, - 4)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 + 2 \cdot - 4$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 2 \cdot - 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 8$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $8$ da $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 10}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Passaggio 6.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 6.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{1}})$

Passaggio 6.3.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

Passaggio 6.4

Dividi $- 5$ per $5$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 6.5

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $180$ .

$θ = 180$