Trigonometria Esempi

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

$\frac{5}{3}$ e $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Passaggio 2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $40$ da $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Passaggio 2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Passaggio 3.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Passaggio 3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Passaggio 3.2.7

Somma $9$ e $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Passaggio 3.2.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{34}{9}}$ come $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.9.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Passaggio 4.2.3

Somma $1$ e $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Passaggio 6.2

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ e $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $34$ per $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ per $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{37}{3}$ nel numeratore.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.7

$- 37$ e $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.9

Moltiplica $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ per $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Passaggio 6.10

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.10.1

Moltiplica $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ per $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Passaggio 6.10.2

Eleva $\sqrt{2210}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Passaggio 6.10.3

Eleva $\sqrt{2210}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Passaggio 6.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Passaggio 6.10.6

Riscrivi ${\sqrt{2210}}^{2}$ come $2210$ .

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Passaggio 6.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2210}$ come $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Passaggio 6.10.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Passaggio 6.11

Calcola $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$