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Trigonometria Esempi
(1,53)(1,53) , (1,-8)(1,−8)
Passaggio 1
Use the dot product formula to find the angle between two vectors.
θ=arccos(a⃗⋅b⃗|a⃗||b⃗|)θ=arccos(a⃗⋅b⃗|a⃗||b⃗|)
Passaggio 2
Passaggio 2.1
The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.
a⃗⋅b⃗=1⋅1+53⋅-8a⃗⋅b⃗=1⋅1+53⋅−8
Passaggio 2.2
Semplifica.
Passaggio 2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 2.2.1.1
Moltiplica 11 per 11.
a⃗⋅b⃗=1+53⋅-8a⃗⋅b⃗=1+53⋅−8
Passaggio 2.2.1.2
Moltiplica 53⋅-853⋅−8.
Passaggio 2.2.1.2.1
5353 e -8−8.
a⃗⋅b⃗=1+5⋅-83a⃗⋅b⃗=1+5⋅−83
Passaggio 2.2.1.2.2
Moltiplica 55 per -8−8.
a⃗⋅b⃗=1+-403a⃗⋅b⃗=1+−403
a⃗⋅b⃗=1+-403a⃗⋅b⃗=1+−403
Passaggio 2.2.1.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
a⃗⋅b⃗=1-403a⃗⋅b⃗=1−403
a⃗⋅b⃗=1-403a⃗⋅b⃗=1−403
Passaggio 2.2.2
Scrivi 11 come una frazione con un comune denominatore.
a⃗⋅b⃗=33-403a⃗⋅b⃗=33−403
Passaggio 2.2.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
a⃗⋅b⃗=3-403a⃗⋅b⃗=3−403
Passaggio 2.2.4
Sottrai 4040 da 33.
a⃗⋅b⃗=-373a⃗⋅b⃗=−373
Passaggio 2.2.5
Sposta il negativo davanti alla frazione.
a⃗⋅b⃗=-373a⃗⋅b⃗=−373
a⃗⋅b⃗=-373a⃗⋅b⃗=−373
a⃗⋅b⃗=-373a⃗⋅b⃗=−373
Passaggio 3
Passaggio 3.1
The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.
|a⃗|=√12+(53)2|a⃗|=√12+(53)2
Passaggio 3.2
Semplifica.
Passaggio 3.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
|a⃗|=√1+(53)2|a⃗|=√1+(53)2
Passaggio 3.2.2
Applica la regola del prodotto a 5353.
|a⃗|=√1+5232|a⃗|=√1+5232
Passaggio 3.2.3
Eleva 55 alla potenza di 22.
|a⃗|=√1+2532|a⃗|=√1+2532
Passaggio 3.2.4
Eleva 33 alla potenza di 22.
|a⃗|=√1+259|a⃗|=√1+259
Passaggio 3.2.5
Scrivi 11 come una frazione con un comune denominatore.
|a⃗|=√99+259|a⃗|=√99+259
Passaggio 3.2.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
|a⃗|=√9+259|a⃗|=√9+259
Passaggio 3.2.7
Somma 99 e 2525.
|a⃗|=√349|a⃗|=√349
Passaggio 3.2.8
Riscrivi √349√349 come √34√9√34√9.
|a⃗|=√34√9|a⃗|=√34√9
Passaggio 3.2.9
Semplifica il denominatore.
Passaggio 3.2.9.1
Riscrivi 99 come 3232.
|a⃗|=√34√32|a⃗|=√34√32
Passaggio 3.2.9.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
|a⃗|=√343|a⃗|=√343
|a⃗|=√343|a⃗|=√343
|a⃗|=√343|a⃗|=√343
|a⃗|=√343|a⃗|=√343
Passaggio 4
Passaggio 4.1
The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.
|b⃗|=√12+(-8)2|b⃗|=√12+(−8)2
Passaggio 4.2
Semplifica.
Passaggio 4.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
|b⃗|=√1+(-8)2|b⃗|=√1+(−8)2
Passaggio 4.2.2
Eleva -8−8 alla potenza di 22.
|b⃗|=√1+64|b⃗|=√1+64
Passaggio 4.2.3
Somma 11 e 6464.
|b⃗|=√65|b⃗|=√65
|b⃗|=√65|b⃗|=√65
|b⃗|=√65|b⃗|=√65
Passaggio 5
Sostituisci i valori nella formula.
θ=arccos(-373√343√65)θ=arccos⎛⎜⎝−373√343√65⎞⎟⎠
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
θ=arccos(-373⋅1√343√65)θ=arccos⎛⎜⎝−373⋅1√343√65⎞⎟⎠
Passaggio 6.2
√343√343 e √65√65.
θ=arccos(-373⋅1√34√653)θ=arccos⎛⎜⎝−373⋅1√34√653⎞⎟⎠
Passaggio 6.3
Semplifica il numeratore.
Passaggio 6.3.1
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
θ=arccos(-373⋅1√34⋅653)θ=arccos⎛⎜⎝−373⋅1√34⋅653⎞⎟⎠
Passaggio 6.3.2
Moltiplica 3434 per 6565.
θ=arccos(-373⋅1√22103)θ=arccos⎛⎜⎝−373⋅1√22103⎞⎟⎠
θ=arccos(-373⋅1√22103)θ=arccos⎛⎜⎝−373⋅1√22103⎞⎟⎠
Passaggio 6.4
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
θ=arccos(-373(13√2210))θ=arccos(−373(13√2210))
Passaggio 6.5
Moltiplica 3√22103√2210 per 11.
θ=arccos(-373⋅3√2210)θ=arccos(−373⋅3√2210)
Passaggio 6.6
Elimina il fattore comune di 33.
Passaggio 6.6.1
Sposta il negativo all'inizio di -373−373 nel numeratore.
θ=arccos(-373⋅3√2210)θ=arccos(−373⋅3√2210)
Passaggio 6.6.2
Elimina il fattore comune.
θ=arccos(-373⋅3√2210)
Passaggio 6.6.3
Riscrivi l'espressione.
θ=arccos(-371√2210)
θ=arccos(-371√2210)
Passaggio 6.7
-37 e 1√2210.
θ=arccos(-37√2210)
Passaggio 6.8
Sposta il negativo davanti alla frazione.
θ=arccos(-37√2210)
Passaggio 6.9
Moltiplica 37√2210 per √2210√2210.
θ=arccos(-(37√2210⋅√2210√2210))
Passaggio 6.10
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 6.10.1
Moltiplica 37√2210 per √2210√2210.
θ=arccos(-37√2210√2210√2210)
Passaggio 6.10.2
Eleva √2210 alla potenza di 1.
θ=arccos(-37√2210√22101√2210)
Passaggio 6.10.3
Eleva √2210 alla potenza di 1.
θ=arccos(-37√2210√22101√22101)
Passaggio 6.10.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza aman=am+n per combinare gli esponenti.
θ=arccos(-37√2210√22101+1)
Passaggio 6.10.5
Somma 1 e 1.
θ=arccos(-37√2210√22102)
Passaggio 6.10.6
Riscrivi √22102 come 2210.
Passaggio 6.10.6.1
Usa n√ax=axn per riscrivere √2210 come 221012.
θ=arccos(-37√2210(221012)2)
Passaggio 6.10.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, (am)n=amn.
θ=arccos(-37√2210221012⋅2)
Passaggio 6.10.6.3
12 e 2.
θ=arccos(-37√2210221022)
Passaggio 6.10.6.4
Elimina il fattore comune di 2.
Passaggio 6.10.6.4.1
Elimina il fattore comune.
θ=arccos(-37√2210221022)
Passaggio 6.10.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
θ=arccos(-37√221022101)
θ=arccos(-37√221022101)
Passaggio 6.10.6.5
Calcola l'esponente.
θ=arccos(-37√22102210)
θ=arccos(-37√22102210)
θ=arccos(-37√22102210)
Passaggio 6.11
Calcola arccos(-37√22102210).
θ=141.91122711
θ=141.91122711