Trigonometria Esempi

(1, \frac{5}{3})

$(1, \frac{5}{3})$ ,

(1, - 8)

$(1, - 8)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

\frac{5}{3} \cdot - 8

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ e

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica

5

$5$ per

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Passaggio 2.2.2

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Passaggio 2.2.4

Sottrai

40

$40$ da

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Passaggio 2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Passaggio 3

Trova la grandezza di

a⃗

$a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.3

Eleva

5

$5$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.4

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Passaggio 3.2.5

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Passaggio 3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Passaggio 3.2.7

Somma

9

$9$ e

25

$25$ .

| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Passaggio 3.2.8

Riscrivi

\sqrt{\frac{34}{9}}

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ come

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 3.2.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di

b⃗

$b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva

- 8

$- 8$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Passaggio 4.2.3

Somma

1

$1$ e

64

$64$ .

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Passaggio 6.2

\frac{\sqrt{34}}{3}

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ e

\sqrt{65}

$\sqrt{65}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica

34

$34$ per

65

$65$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

θ = arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Passaggio 6.5

Moltiplica

\frac{3}{\sqrt{2210}}

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ per

1

$1$ .

θ = arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sposta il negativo all'inizio di

- \frac{37}{3}

$- \frac{37}{3}$ nel numeratore.

θ = arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.7

$- 37$ e

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Passaggio 6.9

Moltiplica

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ per

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Passaggio 6.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Moltiplica

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ per

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Passaggio 6.10.2

Eleva

$\sqrt{2210}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Passaggio 6.10.3

Eleva

$\sqrt{2210}$ alla potenza di

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Passaggio 6.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.10.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Passaggio 6.10.6

Riscrivi

${\sqrt{2210}}^{2}$ come

$2210$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2210}$ come

$2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.10.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Passaggio 6.10.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Passaggio 6.11

Calcola

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$