Trigonometria Esempi

$f (x) = 7 \csc (5 π x - \frac{1}{3} \cdot π)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per qualsiasi $y = \csc (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = n π$ , dove $n$ è numero intero. Utilizza il periodo di base per $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ . Imposta l'interno della funzione cosecante, $b x + c$ , per $y = a \csc (b x + c) + d$ uguale a $0$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ .

$5 π x - \frac{π}{3} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 π x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Passaggio 1.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.2.2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{1}{3 \cdot 5}$

Passaggio 1.2.2.3.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x = \frac{1}{15}$

Passaggio 1.3

Imposta l'interno della funzione cosecante $5 π x - \frac{π}{3}$ pari a $2 π$ .

$5 π x - \frac{π}{3} = 2 π$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 π x = 2 π + \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4.1.3

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 1.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 1.4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 π x = \frac{6 π + π}{3}$

Passaggio 1.4.1.5.2

Somma $6 π$ e $π$ .

$5 π x = \frac{7 π}{3}$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π x = \frac{7 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $5 π$ ciascun termine in $5 π x = \frac{7 π}{3}$ .

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.2.1

Scomponi $π$ da $7 π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Passaggio 1.4.2.3.2.2

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 1.4.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 1.4.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 1.4.2.3.3

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{7}{3 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.2.3.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$x = \frac{7}{15}$

Passaggio 1.5

Il periodo di base per $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ si verificherà a $(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$ , dove $\frac{1}{15}$ e $\frac{7}{15}$ sono asintoti verticali.

$(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$

Passaggio 1.6

Trova il periodo $\frac{2 π}{| b |}$ per determinare dove sono presenti asintoti verticali. Si hanno asintoti verticali ogni mezzo periodo.

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Passaggio 1.6.1

$5 π$ corrisponde approssimativamente a $15.70796326$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 1.7

Si hanno asintoti verticali di $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ con $\frac{1}{15}$ , $\frac{7}{15}$ e con ogni $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$

Passaggio 1.8

La cosecante ha solo asintoti verticali.

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ dove $n$ è un intero

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ dove $n$ è un intero

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \csc (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 7$

$b = 5 π$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Passaggio 3

Poiché il grafico della funzione $c s c$ non ha un valore massimo o minimo, non possono esserci dei valori per l'ampiezza.

Ampiezza: nessuna

Passaggio 4

Trova il periodo di $7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 4.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $b$ con $5 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Passaggio 4.3

$5 π$ corrisponde approssimativamente a $15.70796326$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

Sfasamento: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

Sfasamento: $\frac{1}{3 \cdot 5}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3$ per $5$ .

Sfasamento: $\frac{1}{15}$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: nessuna

Periodo: $\frac{2}{5}$

Sfasamento: $\frac{1}{15}$ ( $\frac{1}{15}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Asintoti verticali: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ dove $n$ è un intero

Ampiezza: nessuna

Periodo: $\frac{2}{5}$

Sfasamento: $\frac{1}{15}$ ( $\frac{1}{15}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8