Trigonometria Esempi

$f (x) = 5 - \sin (\frac{2 π x}{3})$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione come $- \sin (\frac{2 π x}{3}) + 5$ .

$- \sin (\frac{2 π x}{3}) + 5$

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 1$

$b = \frac{2 π}{3}$

$c = 0$

$d = 5$

Passaggio 3

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 4

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il periodo di $- \sin (\frac{2 π x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.1.2

Sostituisci $b$ con $\frac{2 π}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{2 π}{3}$ corrisponde approssimativamente a $2.0943951$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$3$

Passaggio 4.2

Trova il periodo di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci $b$ con $\frac{2 π}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{2 π}{3}$ corrisponde approssimativamente a $2.0943951$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$3$

Passaggio 4.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$3$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{\frac{2 π}{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $0 (\frac{3}{2 π})$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2 π}$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $3$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $5$

Passaggio 7

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 5 - \sin (\frac{2 π (0)}{3})$

Passaggio 7.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $2 π (0)$ .

$f (0) = 5 - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3})$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (0) = 5 - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)})$

Passaggio 7.1.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = 5 - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Passaggio 7.1.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = 5 - \sin (\frac{2 π \cdot (0)}{1})$

Passaggio 7.1.2.1.1.2.4

Dividi $2 π \cdot (0)$ per $1$ .

$f (0) = 5 - \sin (2 π \cdot (0))$

Passaggio 7.1.2.1.2

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (0) = 5 - \sin (0 π)$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$f (0) = 5 - \sin (0)$

Passaggio 7.1.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 5 - 0$

Passaggio 7.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 5 + 0$

Passaggio 7.1.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$f (0) = 5$

Passaggio 7.1.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{2 π (\frac{3}{4})}{3})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

$\frac{3}{4}$ e $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

$\frac{3 \cdot 2}{4}$ e $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.2.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 5 - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.2.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5 - 1$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4$

Passaggio 7.2.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{2 π (\frac{3}{2})}{3})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot π}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.1.2

$\frac{3 \cdot 2}{2}$ e $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{2}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.3.2

Dividi $3 π$ per $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 7.3.2.1.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (π)$

Passaggio 7.3.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3}{2}) = 5 - \sin (0)$

Passaggio 7.3.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 - 0$

Passaggio 7.3.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5 + 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 5$

Passaggio 7.3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{9}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{2 π (\frac{9}{4})}{3})$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1.1

$\frac{9}{4}$ e $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{9 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.1.2

$\frac{9 \cdot 2}{4}$ e $π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{9 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.3

Riduci l'espressione $\frac{18 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $18 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 7.4.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{4}) = 5 - \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{9}{4}) = 5 + \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.4.2.1.8

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 + 1$

Passaggio 7.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 5 + 1$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $5$ e $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 6$

Passaggio 7.4.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 7.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 5 - \sin (\frac{2 π (3)}{3})$

Passaggio 7.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (3) = 5 - \sin (\frac{2 π \cdot 3}{3})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (3) = 5 - \sin (2 π)$

Passaggio 7.5.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (3) = 5 - \sin (0)$

Passaggio 7.5.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (3) = 5 - 0$

Passaggio 7.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (3) = 5 + 0$

Passaggio 7.5.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$f (3) = 5$

Passaggio 7.5.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 5 \\ \frac{3}{4} & 4 \\ \frac{3}{2} & 5 \\ \frac{9}{4} & 6 \\ 3 & 5 \end{array}$

Passaggio 8

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $3$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $5$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 5 \\ \frac{3}{4} & 4 \\ \frac{3}{2} & 5 \\ \frac{9}{4} & 6 \\ 3 & 5 \end{array}$

Passaggio 9