Trigonometria Esempi

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Passaggio 1

Trova il vertice del valore assoluto. In questo caso, il vertice di $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ è $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare la coordinata $x$ del vertice, imposta l'interno del valore assoluto $\cot (\frac{π x}{12})$ in modo che sia uguale a $0$ . In questo caso, $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ per trovare la coordinata $x$ per il vertice del valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{6}{π} π$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6}{π} π$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 6$

Passaggio 1.2.5

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Semplifica $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.1

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.2.1

Scomponi $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 6 \cdot 3$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.3

Moltiplica $6$ per $3$ .

$x = 18$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cot (\frac{π x}{12})$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{12}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

Passaggio 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ corrisponde approssimativamente a $0.26179938$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Passaggio 1.2.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \frac{12}{π}$

Passaggio 1.2.7.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$π \frac{12}{π}$

Passaggio 1.2.7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$12$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cot (\frac{π x}{12})$ è $12$ , quindi i valori si ripetono ogni $12$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = 6 + 12 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Sostituisci la variabile $x$ con $6 + 12 n$ nell'espressione.

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $6 + 12 n$ e $12$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $6$ da $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Passaggio 1.5

Il vertice del valore assoluto è $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Passaggio 2

Trova il dominio per $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ in modo che una lista di valori $x$ possa essere scelta per trovare una lista di punti, che aiuterà nel realizzare una rappresentazione grafica della funzione del valore assoluto.

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Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\cot (\frac{π x}{12})$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{π x}{12} = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Semplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Scomponi $π$ da $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Passaggio 2.2.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 12 n$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x \neq 12 n}$ , per qualsiasi intero $n$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 12 n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Passaggio 4