Trigonometria Esempi

$f (x) = - 2 \sin (π x - \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 2$

$b = π$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $2$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- 2 \sin (π x - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 3.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 3.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{π}{2}}{π}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $2$

Periodo: $2$

Sfasamento: $\frac{1}{2}$ ( $\frac{1}{2}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \sin (π (\frac{1}{2}) - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \sin (\frac{π - π}{2})$

Passaggio 6.1.2.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \sin (\frac{0}{2})$

Passaggio 6.1.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.1.2.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0$

Passaggio 6.1.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 2 \sin (π (1) - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (1) = - 2 \sin (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (1) = - 2 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$f (1) = - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = - 2$

Passaggio 6.2.2.7

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (π (\frac{3}{2}) - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π - π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 2 \sin (π (2) - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (2) = - 2 \sin (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = - 2 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = - 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = - 2 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = - 2 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$f (2) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (2) = - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.4.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (2) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2.7

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.4.2.7.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (2) = 2$

Passaggio 6.4.2.8

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (π (\frac{5}{2}) - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

$π$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 5}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{5 π - π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.2

Sottrai $π$ da $5 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{4 π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.5.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = 0$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - 2 \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 2 & 2 \\ \frac{5}{2} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $2$

Periodo: $2$

Sfasamento: $\frac{1}{2}$ ( $\frac{1}{2}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - 2 \\ \frac{3}{2} & 0 \\ 2 & 2 \\ \frac{5}{2} & 0 \end{array}$

Passaggio 8