Trigonometria Esempi

$f (x) = 3 \sin (3 π x - 2)$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 3$

$b = 3 π$

$c = 2$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo di $3 \sin (3 π x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $3 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 π |}$

Passaggio 3.3

$3 π$ corrisponde approssimativamente a $9.42477796$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{3 π}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{3 π}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{2}{3 π}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $\frac{2}{3}$

Sfasamento: $\frac{2}{3 π}$ ( $\frac{2}{3 π}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2}{3 π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{3 π}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{3 π}) = 3 \sin (2 - 2)$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{2}{3 π}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{2}{3 π}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{2}{3 π}) = 0$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{6}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 (π) (\frac{1}{6}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 (π) (\frac{1}{3 (2)}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{3 \cdot 2}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π (\frac{1}{2}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.3

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 2 - 2)$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{1}{6} + \frac{2}{3 π}) = 3$

Passaggio 6.2.2.5

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 (π) (\frac{1}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π + 2 - 2)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π + 0)$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{2}{3 π}) = 0$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{1}{2}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $3 π \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3}{2} \cdot π + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

$\frac{3}{2}$ e $π$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 - 2)$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

Passaggio 6.4.2.2.2

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.4.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2.5

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 6.4.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{2}{3 π}) = - 3$

Passaggio 6.4.2.6

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{2}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 (π) (\frac{2}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (3 π (\frac{2}{3}) + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π \cdot 2 + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π \cdot 2 + 3 π (\frac{2}{3 π}) - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (π \cdot 2 + 2 - 2)$

Passaggio 6.5.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (2 π + 2 - 2)$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (2 π + 0)$

Passaggio 6.5.2.2.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.5.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{2}{3} + \frac{2}{3 π}) = 0$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{2}{3 π} & 0 \\ \frac{1}{6} + \frac{2}{3 π} & 3 \\ \frac{1}{3} + \frac{2}{3 π} & 0 \\ \frac{1}{2} + \frac{2}{3 π} & - 3 \\ \frac{2}{3} + \frac{2}{3 π} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $\frac{2}{3}$

Sfasamento: $\frac{2}{3 π}$ ( $\frac{2}{3 π}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8