Trigonometria Esempi

$f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\log_{3} (11 - x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$11 - x > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x > - 11$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 11$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 11}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 11}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{- 11}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 11$ per $- 1$ .

$x < 11$

Passaggio 1.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 5}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 5 \geq 0$

Passaggio 1.4

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 5$

Passaggio 1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[5, 11)$

Notazione intensiva:

${x | 5 \leq x < 11}$

Notazione degli intervalli:

$[5, 11)$

Notazione intensiva:

${x | 5 \leq x < 11}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \sqrt{(5) - 5} - \log_{3} (11 - (5))$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (5) = \sqrt{0} - \log_{3} (11 - (5))$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{0^{2}} - \log_{3} (11 - (5))$

Passaggio 2.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - (5))$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - 5)$

Passaggio 2.2.1.5

Sottrai $5$ da $11$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (6)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $\log_{3} (6)$ da $0$ .

$f (5) = - \log_{3} (6)$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- \log_{3} (6)$ .

$- \log_{3} (6)$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $11$ nell'espressione.

$f (11) = \sqrt{(11) - 5} - \log_{3} (11 - (11))$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $5$ da $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - (11))$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - 11)$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $11$ da $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Passaggio 2.4.4

Il logaritmo di zero è indefinito.

$f (11) = Undefined$

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Passaggio 2.5

Il logaritmo di zero è indefinito.

$f (11) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

I punti finali sono $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$ .

$(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $6$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . In questo caso, il punto è $(6, 1 - \log_{3} (5))$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \sqrt{(6) - 5} - \log_{3} (11 - (6))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $5$ da $6$ .

$f (6) = \sqrt{1} - \log_{3} (11 - (6))$

Passaggio 4.1.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - (6))$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - 6)$

Passaggio 4.1.2.1.4

Sottrai $6$ da $11$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (5)$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $1 - \log_{3} (5)$ .

$y = 1 - \log_{3} (5)$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $7$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . In questo caso, il punto è $(7, \sqrt{2} - \log_{3} (4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = \sqrt{(7) - 5} - \log_{3} (11 - (7))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Sottrai $5$ da $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - (7))$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - 7)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sottrai $7$ da $11$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $\sqrt{2} - \log_{3} (4)$ .

$y = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $8$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . In questo caso, il punto è $(8, \sqrt{3} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = \sqrt{(8) - 5} - \log_{3} (11 - (8))$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Sottrai $5$ da $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - (8))$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - 8)$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sottrai $8$ da $11$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (3)$

Passaggio 4.3.2.1.4

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1$

Passaggio 4.3.2.2

La risposta finale è $\sqrt{3} - 1$ .

$y = \sqrt{3} - 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $9$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . In questo caso, il punto è $(9, 2 - \log_{3} (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = \sqrt{(9) - 5} - \log_{3} (11 - (9))$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Sottrai $5$ da $9$ .

$f (9) = \sqrt{4} - \log_{3} (11 - (9))$

Passaggio 4.4.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (9) = \sqrt{2^{2}} - \log_{3} (11 - (9))$

Passaggio 4.4.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - (9))$

Passaggio 4.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - 9)$

Passaggio 4.4.2.1.5

Sottrai $9$ da $11$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (2)$

Passaggio 4.4.2.2

La risposta finale è $2 - \log_{3} (2)$ .

$y = 2 - \log_{3} (2)$

Passaggio 4.5

Sostituisci il valore $10$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . In questo caso, il punto è $(10, \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = \sqrt{(10) - 5} - \log_{3} (11 - (10))$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Sottrai $5$ da $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - (10))$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - 10)$

Passaggio 4.5.2.1.3

Sottrai $10$ da $11$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (1)$

Passaggio 4.5.2.1.4

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} - 0$

Passaggio 4.5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} + 0$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $\sqrt{5}$ e $0$ .

$f (10) = \sqrt{5}$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Passaggio 4.6

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined), (6, - 0.46), (7, 0.15), (8, 0.73), (9, 1.37), (10, 2.24)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & - \log_{3} (6) \\ 6 & - 0.46 \\ 7 & 0.15 \\ 8 & 0.73 \\ 9 & 1.37 \\ 10 & 2.24 \\ 11 & Undefined \end{array}$

Passaggio 5