Trigonometria Esempi

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (5 π x + π) - \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = \frac{5}{2}$

$b = 5 π$

$c = - π$

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{5}{2}$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $\frac{5 \sin (5 π x + π)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $5 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Passaggio 3.1.3

$5 π$ corrisponde approssimativamente a $15.70796326$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $5 π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Passaggio 3.2.3

$5 π$ corrisponde approssimativamente a $15.70796326$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{5 π}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- π}{5 π}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{- π}{5 π}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{- 1}{5}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{1}{5}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{5}{2}$

Periodo: $\frac{2}{5}$

Sfasamento: $- \frac{1}{5}$ ( $\frac{1}{5}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{5}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.1.1.2

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (π \cdot - 1 + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (- 1 \cdot π + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.1.3

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (- π + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{0 - 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.1.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{10}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{10}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{10}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{10}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.1.2

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{10}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.1.3

Scomponi $5$ da $10$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{5 (2)}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5 \cdot 2}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (π (\frac{- 1}{2}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

$π$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π \cdot - 1}{2} + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- 1 \cdot π}{2} + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.5.2

Somma $- π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \cdot 1 - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.7

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 - 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{4}{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{10}) = 2$

Passaggio 6.2.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{5 \sin (5 π (0) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{5 \sin (5 π (0) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica $5 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $5$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (0 π + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (0 + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $0$ e $π$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (π) - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (0) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{10}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{10}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{5 (2)}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5 \cdot 2}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (π (\frac{1}{2}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.3

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.5.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 (- 1 \cdot 1) - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.8

Moltiplica $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \cdot - 1 - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.8.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{- 5 - 1}{2}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Sottrai $1$ da $- 5$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{- 6}{2}$

Passaggio 6.4.2.3.2

Dividi $- 6$ per $2$ .

$f (\frac{1}{10}) = - 3$

Passaggio 6.4.2.4

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (π + π) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (2 π) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{0 - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{5}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{10} & 2 \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{10} & - 3 \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{5}{2}$

Periodo: $\frac{2}{5}$

Sfasamento: $- \frac{1}{5}$ ( $\frac{1}{5}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{10} & 2 \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{10} & - 3 \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 8