Trigonometria Esempi

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Passaggio 1

Trova il vertice del valore assoluto. In questo caso, il vertice di $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ è $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Passaggio 1.1

Per trovare la coordinata $x$ del vertice, imposta l'interno del valore assoluto $\cos (\frac{π x}{2})$ in modo che sia uguale a $0$ . In questo caso, $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ per trovare la coordinata $x$ per il vertice del valore assoluto.

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Passaggio 1.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$π x = π$

Passaggio 1.2.4

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = π$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.4.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{π}{π}$

Passaggio 1.2.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.6.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 1.2.6.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 1.2.6.2.2.1.7.1

Scomponi $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Passaggio 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.57079632$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 1.2.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{2}{π}$

Passaggio 1.2.7.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 1.2.7.5.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Passaggio 1.2.7.5.2

Elimina il fattore comune.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Passaggio 1.2.7.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 2$

Passaggio 1.2.7.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cos (\frac{π x}{2})$ è $4$ , quindi i valori si ripetono ogni $4$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = 1 + 2 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Sostituisci la variabile $x$ con $1 + 2 n$ nell'espressione.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Passaggio 1.4

Il vertice del valore assoluto è $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Passaggio 4