Trigonometria Esempi

$f (x) = - | \ln (x - 3) |$

Passaggio 1

Trova il vertice del valore assoluto. In questo caso, il vertice di $y = - | \ln (x - 3) |$ è $(4, 0)$ .

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Passaggio 1.1

Per trovare la coordinata $x$ del vertice, imposta l'interno del valore assoluto $\ln (x - 3)$ in modo che sia uguale a $0$ . In questo caso, $\ln (x - 3) = 0$ .

$\ln (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione $\ln (x - 3) = 0$ per trovare la coordinata $x$ per il vertice del valore assoluto.

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Passaggio 1.2.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x - 3)} = e^{0}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\ln (x - 3) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 3$

Passaggio 1.2.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $x - 3 = e^{0}$ .

$x - 3 = e^{0}$

Passaggio 1.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x - 3 = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1 + 3$

Passaggio 1.2.3.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$x = 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$y = - | \ln ((4) - 3) |$

Passaggio 1.4

Semplifica $- | \ln ((4) - 3) |$ .

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Passaggio 1.4.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$y = - | \ln (1) |$

Passaggio 1.4.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y = - | 0 |$

Passaggio 1.4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$y = - 0$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.5

Il vertice del valore assoluto è $(4, 0)$ .

$(4, 0)$

Passaggio 2

Trova il dominio per $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ in modo che una lista di valori $x$ possa essere scelta per trovare una lista di punti, che aiuterà nel realizzare una rappresentazione grafica della funzione del valore assoluto.

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Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x - 3)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 3 > 0$

Passaggio 2.2

Aggiungi $3$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x > 3$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 3}$

Notazione degli intervalli:

$(3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 3}$

Passaggio 3

Per ogni valore $x$ c'è un valore $y$ . Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del vertice del valore assoluto.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $5$ di $x$ in $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ . In questo caso, il punto è $(5, - \ln (2))$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - | \ln ((5) - 3) |$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.1.2.1

Sottrai $3$ da $5$ .

$f (5) = - | \ln (2) |$

Passaggio 3.1.2.2

$\ln (2)$ corrisponde approssimativamente a $0.69314718$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$f (5) = - \ln (2)$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- \ln (2)$ .

$y = - \ln (2)$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $6$ di $x$ in $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ . In questo caso, il punto è $(6, - \ln (3))$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - | \ln ((6) - 3) |$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$f (6) = - | \ln (3) |$

Passaggio 3.2.2.2

$\ln (3)$ corrisponde approssimativamente a $1.09861228$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$f (6) = - \ln (3)$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $- \ln (3)$ .

$y = - \ln (3)$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto può essere rappresentato graficamente usando i punti attorno al vertice $(4, 0), (5, - 0.69), (6, - 1.1)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & - 0.69 \\ 6 & - 1.1 \end{array}$

Passaggio 4