Trigonometria Esempi

$f (x) = \frac{2 e - x}{x} - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Passaggio 1.5

Poiché $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ dove $a = - 2$ e $b = 1$ .

$y = - 2$

Passaggio 1.6

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 2$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 2$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{2 e - (1)}{1} - \ln (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{2 e - 1}{1} - \ln (1)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi $2 e - 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 e - 1 - \ln (1)$

Passaggio 2.2.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 - 0$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 + 0$

Passaggio 2.2.3

Somma $2 e$ e $0$ .

$f (1) = 2 e - 1$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $2 e - 1$ .

$2 e - 1$

Passaggio 2.3

Converti $2 e - 1$ in decimale.

$y = 4.43656365$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{2 e - (2)}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = \frac{2 e - 2}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 e - 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 e$ .

$f (2) = \frac{2 (e) - 2}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (2) = \frac{2 (e) + 2 \cdot - 1}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 (e) + 2 (- 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 (1)} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 \cdot 1} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{e - 1}{1} - \ln (2)$

Passaggio 3.2.2.4.4

Dividi $e - 1$ per $1$ .

$f (2) = e - 1 - \ln (2)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $e - 1 - \ln (2)$ .

$e - 1 - \ln (2)$

Passaggio 3.3

Converti $e - 1 - \ln (2)$ in decimale.

$y = 1.02513464$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{2 e - (3)}{3} - \ln (3)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3)$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \ln (3)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

$- \ln (3)$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} + \frac{- \ln (3) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- \ln (3) \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - 3 \ln (3)}{3}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Semplifica $- 3 \ln (3)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3^{3})}{3}$

Passaggio 4.2.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ .

$\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ in decimale.

$y = - 0.2864244$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 4.43656365), (2, 1.02513464), (3, - 0.2864244)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.437 \\ 2 & 1.025 \\ 3 & - 0.286 \end{array}$

Passaggio 6