Trigonometria Esempi

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}}$

Passaggio 5.3.9.4

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}}$

Passaggio 5.3.11

Somma $4$ e $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{13}{36}}$ come $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{3}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.10.4

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.12

Somma $4$ e $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{13}{36}}$ come $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 3$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3 (2)} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{13}}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Passaggio 8.3.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3.3

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{6 \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Passaggio 9.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.6.2

Sposta $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Passaggio 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Passaggio 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Passaggio 9.3.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Passaggio 9.3.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $6$ per $13$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{4 \cdot 78}$

Passaggio 9.3.8.2

Moltiplica $4$ per $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{312}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{3}{2} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{3}{2} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $\frac{3}{2} x$ e $0$ .

$y = \frac{3}{2} x$

Passaggio 11.2

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{3}{2} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{3}{2} x$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{2} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2}$

Passaggio 12.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Fuochi: $(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{13}}{312}$

Asintoti: $y = \frac{3 x}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2}$

Passaggio 15