Trigonometria Esempi

$9 y^{2} - 16 x^{2} - 72 y - 64 x + 224 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $224$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 16 x^{2} - 72 y - 64 x = - 224$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $9 y^{2} - 72 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 72$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 36}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 36$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$d = - 4$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 72$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $5184$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$e = 0 - 144$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $144$ da $0$ .

$e = - 144$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $9 {(y - 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(y - 4)}^{2} - 144$

Passaggio 1.3

Sostituisci $9 y^{2} - 72 y$ con $9 {(y - 4)}^{2} - 144$ nell'equazione $9 y^{2} - 16 x^{2} - 72 y - 64 x = - 224$ .

$9 {(y - 4)}^{2} - 144 - 16 x^{2} - 64 x = - 224$

Passaggio 1.4

Sposta $- 144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$9 {(y - 4)}^{2} - 16 x^{2} - 64 x = - 224 + 144$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 16 x^{2} - 64 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 16)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 32}{- 16}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $- 16$ da $- 32$ .

$d = \frac{- 16 (2)}{- 16}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $- 16$ da $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 64$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot - 16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{- 64}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $4096$ per $- 64$ .

$e = 0 - - 64$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $64$ .

$e = 64$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 16 {(x + 2)}^{2} + 64$ .

$- 16 {(x + 2)}^{2} + 64$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 16 x^{2} - 64 x$ con $- 16 {(x + 2)}^{2} + 64$ nell'equazione $9 y^{2} - 16 x^{2} - 72 y - 64 x = - 224$ .

$9 {(y - 4)}^{2} - 16 {(x + 2)}^{2} + 64 = - 224 + 144$

Passaggio 1.7

Sposta $64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$9 {(y - 4)}^{2} - 16 {(x + 2)}^{2} = - 224 + 144 - 64$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 224 + 144 - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 224$ e $144$ .

$9 {(y - 4)}^{2} - 16 {(x + 2)}^{2} = - 80 - 64$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $64$ da $- 80$ .

$9 {(y - 4)}^{2} - 16 {(x + 2)}^{2} = - 144$

Passaggio 1.9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 9 {(y - 4)}^{2} + 16 {(x + 2)}^{2} = 144$

Passaggio 1.10

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{9 {(y - 4)}^{2}}{144} + \frac{16 {(x + 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = 4$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, 4)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 4)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(1, 4), (- 5, 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 7, 4)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(3, 4), (- 7, 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{5}$

Passaggio 9.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2) + 4$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{4}{3}$ e $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 4$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 4$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 12}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $8$ e $12$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2) + 4$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3}) + 4$

Passaggio 12.2.1.4.2

$- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} + 4$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3} + 4$

Passaggio 12.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3} + 4$

Passaggio 12.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $- 8$ e $12$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, 4)$

Vertici: $(1, 4), (- 5, 4)$

Fuochi: $(3, 4), (- 7, 4)$

Eccentricità: $\frac{5}{3}$

Asse focale: $\frac{16}{5}$

Asintoti: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 15