Trigonometria Esempi

$\frac{x}{12} + \frac{y^{2}}{108} = 2$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{y^{2}}{108}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{12} = 2 - \frac{y^{2}}{108}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $12$ .

$12 \frac{x}{12} = 12 (2 - \frac{y^{2}}{108})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$12 \frac{x}{12} = 12 (2 - \frac{y^{2}}{108})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 12 (2 - \frac{y^{2}}{108})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $12 (2 - \frac{y^{2}}{108})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = 12 \cdot 2 + 12 (- \frac{y^{2}}{108})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$x = 24 + 12 (- \frac{y^{2}}{108})$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{2}}{108}$ nel numeratore.

$x = 24 + 12 \frac{- y^{2}}{108}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Scomponi $12$ da $108$ .

$x = 24 + 12 \frac{- y^{2}}{12 (9)}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$x = 24 + 12 \frac{- y^{2}}{12 \cdot 9}$

Passaggio 3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$x = 24 + \frac{- y^{2}}{9}$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 24 - \frac{y^{2}}{9}$

Passaggio 4

Riordina $24$ e $- \frac{y^{2}}{9}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{9} + 24$

Passaggio 5

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{9} + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{9}$

$b = 0$

$c = 24$

Passaggio 5.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 (- 1 \cdot 9)$

Passaggio 5.1.1.3.2.3

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$d = 0 \cdot - 9$

Passaggio 5.1.1.3.2.3.2

Moltiplica $0$ per $- 9$ .

$d = 0$

Passaggio 5.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 24 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 24 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 24 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{9}$ .

$e = 24 - \frac{0}{\frac{- 4}{9}}$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 24 - \frac{0}{- \frac{4}{9}}$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 24 - (0 (- \frac{9}{4}))$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $0 (- \frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 24 - (0 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.5.2

Moltiplica $0$ per $\frac{9}{4}$ .

$e = 24 - 0$

Passaggio 5.1.1.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 24 + 0$

Passaggio 5.1.1.4.2.2

Somma $24$ e $0$ .

$e = 24$

Passaggio 5.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{9} {(y + 0)}^{2} + 24$ .

$- \frac{1}{9} {(y + 0)}^{2} + 24$

Passaggio 5.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{9} \cdot {(y + 0)}^{2} + 24$

Passaggio 5.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{9}$

$h = 24$

$k = 0$

Passaggio 5.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 5.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(24, 0)$

Passaggio 5.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{9})}$

Passaggio 5.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{9}}$

Passaggio 5.5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 5.5.3.4

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$- \frac{9}{4}$

Passaggio 5.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 5.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 5.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{87}{4}, 0)$

Passaggio 5.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 0$

Passaggio 5.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 5.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 5.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{105}{4}$

Passaggio 5.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(24, 0)$

Fuoco: $(\frac{87}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{105}{4}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(24, 0)$

Fuoco: $(\frac{87}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{105}{4}$

Passaggio 6

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 6.1

Sostituisci il valore $22$ di $x$ in $f (x) = 3 \sqrt{24 - x}$ . In questo caso, il punto è $(22, 4.24264068)$ .

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Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $22$ nell'espressione.

$f (22) = 3 \sqrt{24 - (22)}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $22$ .

$f (22) = 3 \sqrt{24 - 22}$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $22$ da $24$ .

$f (22) = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $3 \sqrt{2}$ .

$y = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 6.1.3

Converti $3 \sqrt{2}$ in decimale.

$= 4.24264068$

Passaggio 6.2

Sostituisci il valore $22$ di $x$ in $f (x) = - 3 \sqrt{24 - x}$ . In questo caso, il punto è $(22, - 4.24264068)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $22$ nell'espressione.

$f (22) = - 3 \sqrt{24 - (22)}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $22$ .

$f (22) = - 3 \sqrt{24 - 22}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $22$ da $24$ .

$f (22) = - 3 \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- 3 \sqrt{2}$ .

$y = - 3 \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.3

Converti $- 3 \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 4.24264068$

Passaggio 6.3

Sostituisci il valore $23$ di $x$ in $f (x) = 3 \sqrt{24 - x}$ . In questo caso, il punto è $(23, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $23$ nell'espressione.

$f (23) = 3 \sqrt{24 - (23)}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $23$ .

$f (23) = 3 \sqrt{24 - 23}$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $23$ da $24$ .

$f (23) = 3 \sqrt{1}$

Passaggio 6.3.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (23) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.3.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (23) = 3$

Passaggio 6.3.2.5

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 6.3.3

Converti $3$ in decimale.

$= 3$

Passaggio 6.4

Sostituisci il valore $23$ di $x$ in $f (x) = - 3 \sqrt{24 - x}$ . In questo caso, il punto è $(23, - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $23$ nell'espressione.

$f (23) = - 3 \sqrt{24 - (23)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $23$ .

$f (23) = - 3 \sqrt{24 - 23}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $23$ da $24$ .

$f (23) = - 3 \sqrt{1}$

Passaggio 6.4.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (23) = - 3 \cdot 1$

Passaggio 6.4.2.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (23) = - 3$

Passaggio 6.4.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 6.4.3

Converti $- 3$ in decimale.

$= - 3$

Passaggio 6.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 22 & 4.24 \\ 22 & - 4.24 \\ 23 & 3 \\ 23 & - 3 \\ 24 & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(24, 0)$

Fuoco: $(\frac{87}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = \frac{105}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 22 & 4.24 \\ 22 & - 4.24 \\ 23 & 3 \\ 23 & - 3 \\ 24 & 0 \end{array}$

Passaggio 8