Trigonometria Esempi

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Esegui una moltiplicazione incrociata.

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Passaggio 1.2.1.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi in modo che $81 \sqrt{x - 1}$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.3

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Eleva $81$ alla potenza di $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Semplifica.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.6

Moltiplica $6561$ per $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Passaggio 1.2.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Aggiungi $6561$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$6561 x < 6561$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi per $6561$ ciascun termine in $6561 x < 6561$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.5.2.1

Dividi per $6561$ ciascun termine in $6561 x < 6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6561$ .

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Passaggio 1.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Passaggio 1.2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.5.2.3.1

Dividi $6561$ per $6561$ .

$x < 1$

Passaggio 1.2.6

Trova il dominio di $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 1$

Passaggio 1.2.6.3

Imposta il denominatore in $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(1, \infty)$

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 1$

Passaggio 1.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 1 \geq 0$

Passaggio 1.4

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 1$

Passaggio 1.5

Imposta il denominatore in $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 1}$

Notazione degli intervalli:

$(1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 1}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $1$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Passaggio 2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f (1) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . In questo caso, il punto è $(2, 4)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Passaggio 4.1.2.3

Il logaritmo in base $3$ di $\frac{81}{1}$ è $4$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Passaggio 4.1.2.3.2

Riscrivi $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{4}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 4$

Passaggio 4.1.2.3.5

La variabile $x$ è uguale a $4$ .

$f (2) = 4$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $3$ di $x$ in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . In questo caso, il punto è $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3

La risposta finale è $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Passaggio 5