Trigonometria Esempi

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento del logaritmo in modo che risulti uguale a zero.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Passaggio 1.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Passaggio 1.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Passaggio 1.2.1.1.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Passaggio 1.2.1.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.1.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Passaggio 1.2.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi ${(x + 6)}^{2}$ per $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Poni $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 1.3

L'asintoto verticale avviene a $x = - 6$ .

Asintoto verticale: $x = - 6$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 5$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $120$ da $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- 70$ e $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Passaggio 2.2.3

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$f (- 5) = 1$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 2.3

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 4$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $96$ da $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 64$ e $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Passaggio 3.2.3

Il logaritmo in base $2$ di $8$ è $3$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{2} (8) = x$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $\log_{2} (8) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Passaggio 3.2.3.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 3$

Passaggio 3.2.3.5

La variabile $x$ è uguale a $3$ .

$f (- 4) = 3$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 3.3

Converti $3$ in decimale.

$y = 3$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = - 2$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $48$ da $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 40$ e $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Passaggio 4.2.3

Il logaritmo in base $2$ di $32$ è $5$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{2} (32) = x$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi $\log_{2} (32) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Passaggio 4.2.3.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{5}$

Passaggio 4.2.3.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 5$

Passaggio 4.2.3.5

La variabile $x$ è uguale a $5$ .

$f (- 2) = 5$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 4.3

Converti $5$ in decimale.

$y = 5$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = - 6$ e i punti $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Asintoto verticale: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Passaggio 6