Trigonometria Esempi

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(\frac{1}{5})}^{2}} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{\frac{1}{25}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 1$

$h = 5$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(5, 1)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{25 + \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{25 + \frac{1}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + \frac{1}{25}}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}}$

Passaggio 5.3.6

$25$ e $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 25 + 1}{25}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $25$ per $25$ .

$\sqrt{\frac{625 + 1}{25}}$

Passaggio 5.3.8.2

Somma $625$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{626}{25}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{626}{25}}$ come $\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{626}}{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(10, 1)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(10, 1), (0, 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5 + \frac{\sqrt{626}}{5}, 1)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5 - \frac{\sqrt{626}}{5}, 1)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(5 + \frac{\sqrt{626}}{5}, 1), (5 - \frac{\sqrt{626}}{5}, 1)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\frac{1}{5})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(\frac{1}{5})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sqrt{25 + \frac{1^{2}}{5^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{25 + \frac{1}{5^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + \frac{1}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.5

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.6

$25$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 25 + 1}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.8.1

Moltiplica $25$ per $25$ .

$\frac{\sqrt{\frac{625 + 1}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Somma $625$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{626}{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{626}{25}}$ come $\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{25}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{5^{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\frac{\sqrt{626}}{5}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{626}}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{626}}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{626}}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 5}$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{626}}{25}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{1}{5^{2}}}{\sqrt{626}}}{5}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{5^{2}}}{\sqrt{626}} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{1}{5^{2}} \cdot 1}{\sqrt{626} \cdot 5}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{1}{25} \cdot 1}{\sqrt{626} \cdot 5}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{25}}{\sqrt{626} \cdot 5}$

Passaggio 9.3.3.3

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{626}$ .

$\frac{\frac{1}{25}}{5 \sqrt{626}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{5 \sqrt{626}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{626}}$ per $\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{626}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{5 \sqrt{626}} \cdot \frac{\sqrt{626}}{\sqrt{626}})$

Passaggio 9.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{5 \sqrt{626}}$ per $\frac{\sqrt{626}}{\sqrt{626}}$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \sqrt{626} \sqrt{626}}$

Passaggio 9.3.6.2

Sposta $\sqrt{626}$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 (\sqrt{626} \sqrt{626})}$

Passaggio 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{626}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 ({\sqrt{626}}^{1} \sqrt{626})}$

Passaggio 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{626}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 ({\sqrt{626}}^{1} {\sqrt{626}}^{1})}$

Passaggio 9.3.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 {\sqrt{626}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 {\sqrt{626}}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7

Riscrivi ${\sqrt{626}}^{2}$ come $626$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{626}$ come $626^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 {(626^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 626^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 626^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 626^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 626^{1}}$

Passaggio 9.3.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{5 \cdot 626}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $5$ per $626$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{3130}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{1}{25} \cdot \frac{\sqrt{626}}{3130}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.8.1

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{\sqrt{626}}{3130}$ .

$\frac{\sqrt{626}}{25 \cdot 3130}$

Passaggio 9.3.8.2

Moltiplica $25$ per $3130$ .

$\frac{\sqrt{626}}{78250}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{1}{25} \cdot (x - (5)) + 1$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{25} \cdot (x - (5)) + 1$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{1}{25} \cdot (x - (5)) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \frac{1}{25} \cdot (x - 5) + 1$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{25} x + \frac{1}{25} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{1}{25}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{25} + \frac{1}{25} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$y = \frac{x}{25} + \frac{1}{5 (5)} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 11.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$y = \frac{x}{25} + \frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 11.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x}{25} + \frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 11.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x}{25} + \frac{1}{5} \cdot - 1 + 1$

Passaggio 11.2.1.5

$\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$y = \frac{x}{25} + \frac{- 1}{5} + 1$

Passaggio 11.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{25} - \frac{1}{5} + 1$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{x}{25} - \frac{1}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 11.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{25} + \frac{- 1 + 5}{5}$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $- 1$ e $5$ .

$y = \frac{x}{25} + \frac{4}{5}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{25} \cdot (x - (5)) + 1$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{1}{25} \cdot (x - (5)) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - \frac{1}{25} \cdot (x - 5) + 1$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{25} x - \frac{1}{25} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{1}{25}$ .

$y = - \frac{x}{25} - \frac{1}{25} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{25}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- 1}{25} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 12.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- 1}{5 (5)} \cdot - 5 + 1$

Passaggio 12.2.1.4.3

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- 1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 12.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- 1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 12.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- 1}{5} \cdot - 1 + 1$

Passaggio 12.2.1.5

$\frac{- 1}{5}$ e $- 1$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{- - 1}{5} + 1$

Passaggio 12.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} + 1$

Passaggio 12.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 12.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{25} + \frac{1 + 5}{5}$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $1$ e $5$ .

$y = - \frac{x}{25} + \frac{6}{5}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{x}{25} + \frac{4}{5}, y = - \frac{x}{25} + \frac{6}{5}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(5, 1)$

Vertici: $(10, 1), (0, 1)$

Fuochi: $(5 + \frac{\sqrt{626}}{5}, 1), (5 - \frac{\sqrt{626}}{5}, 1)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{626}}{25}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{626}}{78250}$

Asintoti: $y = \frac{x}{25} + \frac{4}{5}$ , $y = - \frac{x}{25} + \frac{6}{5}$

Passaggio 15