Trigonometria Esempi

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = - 5$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 5, - 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\sqrt{25 + 20}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $25$ e $20$ .

$\sqrt{45}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 3)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 10, - 3)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(0, - 3), (- 10, - 3)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5 + 3 \sqrt{5}, - 3)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5 - 3 \sqrt{5}, - 3)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 5 + 3 \sqrt{5}, - 3), (- 5 - 3 \sqrt{5}, - 3)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Passaggio 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Passaggio 8.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{1}}}{5}$

Passaggio 8.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{25 + 4 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{25 + 20}}{5}$

Passaggio 8.3.6

Somma $25$ e $20$ .

$\frac{\sqrt{45}}{5}$

Passaggio 8.3.7

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{5}$

Passaggio 8.3.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{5}$

Passaggio 8.3.8

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2 {\sqrt{5}}^{2}}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di ${\sqrt{5}}^{2}$ e $\sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $\sqrt{5}$ da $2 {\sqrt{5}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{3 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $\sqrt{5}$ da $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} \cdot 3}$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (x - (- 5)) - 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (x - (- 5)) - 3$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (x + 5) - 3$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} x + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 11.2.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 11.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} + 2 \sqrt{5} - 3$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (x - (- 5)) - 3$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot (x + 5) - 3$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} x - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 12.2.3

$x$ e $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{5})}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 12.2.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{5})}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 12.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{5})}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5} \cdot 5 - 3$

Passaggio 12.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x (2 \sqrt{5})}{5} - 2 \sqrt{5} - 3$

Passaggio 12.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{5}}{5} - 2 \sqrt{5} - 3$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} + 2 \sqrt{5} - 3, y = - \frac{2 x \sqrt{5}}{5} - 2 \sqrt{5} - 3$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 5, - 3)$

Vertici: $(0, - 3), (- 10, - 3)$

Fuochi: $(- 5 + 3 \sqrt{5}, - 3), (- 5 - 3 \sqrt{5}, - 3)$

Eccentricità: $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Asse focale: $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Asintoti: $y = \frac{2 \sqrt{5} x}{5} + 2 \sqrt{5} - 3$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{5}}{5} - 2 \sqrt{5} - 3$

Passaggio 15