Trigonometria Esempi

${(x + 2)}^{2} - 36 {(y - 4)}^{2} = 36$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{36} - \frac{36 {(y - 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{1} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 1$

$k = 4$

$h = - 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 2, 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{36 + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma $36$ e $1$ .

$\sqrt{37}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 4)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 8, 4)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(4, 4), (- 8, 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 + \sqrt{37}, 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2 - \sqrt{37}, 4)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 2 + \sqrt{37}, 4), (- 2 - \sqrt{37}, 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(1)}^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 1^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{36 + 1}}{6}$

Passaggio 8.3.3

Somma $36$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{6}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{37}}^{2}$ come $37$ .

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Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{37}$ come $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{37}}{37^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{37}}{37}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{1}{6} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{6} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{1}{6} \cdot (x - (- 2)) + 4$ .

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot (x + 2) + 4$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 11.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} + 4$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{6} + \frac{1 + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{1 + 12}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $1$ e $12$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{13}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{6} \cdot (x - (- 2)) + 4$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{1}{6} \cdot (x - (- 2)) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - \frac{1}{6} \cdot (x + 2) + 4$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{6} x - \frac{1}{6} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{6} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + 4$

Passaggio 12.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3} + 4$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{3} + 4$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{1}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 12}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $- 1$ e $12$ .

$y = - \frac{x}{6} + \frac{11}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{x}{6} + \frac{13}{3}, y = - \frac{x}{6} + \frac{11}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 2, 4)$

Vertici: $(4, 4), (- 8, 4)$

Fuochi: $(- 2 + \sqrt{37}, 4), (- 2 - \sqrt{37}, 4)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{37}}{6}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{37}}{37}$

Asintoti: $y = \frac{x}{6} + \frac{13}{3}$ , $y = - \frac{x}{6} + \frac{11}{3}$

Passaggio 15