Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $5$ da $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $5$ come $- 1$ più $6$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 \cos (3 x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $2 \cos (3 x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (3 x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (3 x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (3 x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (3 x)$ per $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 3.2.5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.5.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Passaggio 3.2.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Semplifica.

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Passaggio 3.2.7.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 3.2.7.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 3.2.7.1.5

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 3.2.7.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{3}$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.7.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 3.2.7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.7.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Passaggio 3.2.8

Trova il periodo di $\cos (3 x)$ .

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Passaggio 3.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.8.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 3.2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.2.9

Il periodo della funzione $\cos (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\cos (3 x) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (3 x) + 3$ uguale a $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (3 x) + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (3 x) = - 3$

Passaggio 4.2.2

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- 3$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro di $- 5.98979219$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $3.64470539$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $- 5.8953346$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Vero

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Vero

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Vero

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Vero

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ o $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9