Trigonometria Esempi

$16 {(x - 3)}^{2} = 64 - y^{2}$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$16 ((x - 3) (x - 3)) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$16 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$16 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$16 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$16 (x^{2} - 6 x + 9) + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$16 x^{2} + 16 (- 6 x) + 16 \cdot 9 + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $- 6$ per $16$ .

$16 x^{2} - 96 x + 16 \cdot 9 + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.2.5.2

Moltiplica $16$ per $9$ .

$16 x^{2} - 96 x + 144 + y^{2} = 64$

Passaggio 1.1.3

Sposta $144$ .

$16 x^{2} - 96 x + y^{2} + 144 = 64$

Passaggio 1.1.4

Sposta $- 96 x$ .

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x + 144 = 64$

Passaggio 1.2

Sposta tutti i termini non contenenti una variabile sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x = 64 - 144$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $144$ da $64$ .

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x = - 80$

Passaggio 1.3

Completa il quadrato per $16 x^{2} - 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Passaggio 1.3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 96$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 96$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 48}{16}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $- 48$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Eleva $- 96$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Dividi $9216$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Passaggio 1.3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $144$ .

$e = 0 - 144$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $144$ da $0$ .

$e = - 144$

Passaggio 1.3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144$

Passaggio 1.4

Sostituisci $16 x^{2} - 96 x$ con $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ nell'equazione $16 x^{2} + y^{2} - 96 x = - 80$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144 + y^{2} = - 80$

Passaggio 1.5

Sposta $- 144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = - 80 + 144$

Passaggio 1.6

Somma $- 80$ e $144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 64$

Passaggio 1.7

Dividi per $64$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Passaggio 1.8

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 8$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(3, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{64 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{64 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $4$ da $64$ .

$\sqrt{60}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$\sqrt{4 (15)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{15}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3, 0 + 8)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(3, 8)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3, 0 - (8))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(3, - 8)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3, 0 + 2 \sqrt{15})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(3, 2 \sqrt{15})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3, 0 - (2 \sqrt{15}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(3, - 2 \sqrt{15})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(2)}^{2}}}{8}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{2}}}{8}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 4}}{8}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{64 - 4}}{8}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $4$ da $64$ .

$\frac{\sqrt{60}}{8}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)}}{8}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}{8}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{15}}{8}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (\sqrt{15})}{8}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(3, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Passaggio 10