Trigonometria Esempi

$- 30 x^{2} + 15 x + 10 y^{2} - 2 y - 5 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 30 x^{2} + 15 x + 10 y^{2} - 2 y = 5$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 30 x^{2} + 15 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 30$

$b = 15$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot - 30}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ e $- 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $15$ da $15$ .

$d = \frac{15 (1)}{2 \cdot - 30}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $15$ da $2 \cdot - 30$ .

$d = \frac{15 (1)}{15 (2 \cdot - 2)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{15 \cdot 1}{15 (2 \cdot - 2)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$d = \frac{1}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot - 30}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot - 30}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 30$ .

$e = 0 - \frac{225}{- 120}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $225$ e $- 120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Scomponi $15$ da $225$ .

$e = 0 - \frac{15 (15)}{- 120}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $15$ da $- 120$ .

$e = 0 - \frac{15 \cdot 15}{15 \cdot - 8}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{15 \cdot 15}{15 \cdot - 8}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{15}{- 8}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{15}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{15}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{15}{8})$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{15}{8}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{15}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{15}{8}$ .

$e = \frac{15}{8}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{8}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{8}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 30 x^{2} + 15 x$ con $- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{8}$ nell'equazione $- 30 x^{2} + 15 x + 10 y^{2} - 2 y = 5$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{8} + 10 y^{2} - 2 y = 5$

Passaggio 1.4

Sposta $\frac{15}{8}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{15}{8}$ a entrambi i lati.

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 y^{2} - 2 y = 5 - \frac{15}{8}$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $10 y^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 10$

$b = - 2$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (10)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{10}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{10}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $10$ .

$e = 0 - \frac{4}{40}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{40}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 10}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{1}{10}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{10}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{10}$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} - \frac{1}{10}$ .

$10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} - \frac{1}{10}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $10 y^{2} - 2 y$ con $10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} - \frac{1}{10}$ nell'equazione $- 30 x^{2} + 15 x + 10 y^{2} - 2 y = 5$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} - \frac{1}{10} = 5 - \frac{15}{8}$

Passaggio 1.7

Sposta $- \frac{1}{10}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{10}$ a entrambi i lati.

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = 5 - \frac{15}{8} + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8

Semplifica $5 - \frac{15}{8} + \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Scrivi $5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5}{1} - \frac{15}{8} + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{40}{40}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5}{1} \cdot \frac{40}{40} - \frac{15}{8} + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{40}{40}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15}{8} + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8.1.4

Moltiplica $\frac{15}{8}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - (\frac{15}{8} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $\frac{15}{8}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{1}{10}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{1}{10} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 1.8.1.7

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{4}{10 \cdot 4}$

Passaggio 1.8.1.8

Riordina i fattori di $8 \cdot 5$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{5 \cdot 8} + \frac{4}{10 \cdot 4}$

Passaggio 1.8.1.9

Moltiplica $5$ per $8$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{40} + \frac{4}{10 \cdot 4}$

Passaggio 1.8.1.10

Riordina i fattori di $10 \cdot 4$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{40} + \frac{4}{4 \cdot 10}$

Passaggio 1.8.1.11

Moltiplica $4$ per $10$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40}{40} - \frac{15 \cdot 5}{40} + \frac{4}{40}$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{5 \cdot 40 - 15 \cdot 5 + 4}{40}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $5$ per $40$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{200 - 15 \cdot 5 + 4}{40}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica $- 15$ per $5$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{200 - 75 + 4}{40}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Sottrai $75$ da $200$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{125 + 4}{40}$

Passaggio 1.8.4.2

Somma $125$ e $4$ .

$- 30 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 10 {(y - \frac{1}{10})}^{2} = \frac{129}{40}$

Passaggio 1.9

Dividi per $\frac{129}{40}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{30 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{129}{40}} + \frac{10 {(y - \frac{1}{10})}^{2}}{\frac{129}{40}} = \frac{\frac{129}{40}}{\frac{129}{40}}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - \frac{1}{10})}^{2}}{\frac{129}{400}} - \frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{43}{400}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{\sqrt{129}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{43}}{20}$

$k = \frac{1}{10}$

$h = \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10})$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{129}}{20})}^{2} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{129}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{129}}^{2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{129}}^{2}$ come $129$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{129}$ come $129^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{129^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{129^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{129^{1}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{129}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{43}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{{\sqrt{43}}^{2}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{43}}^{2}$ come $43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{43}$ come $43^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{{(43^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{2}{2}}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{2}{2}}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{1}}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43}{20^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43}{400}}$

Passaggio 5.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{129 + 43}{400}}$

Passaggio 5.3.5.3

Somma $129$ e $43$ .

$\sqrt{\frac{172}{400}}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $172$ e $400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $4$ da $172$ .

$\sqrt{\frac{4 (43)}{400}}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Scomponi $4$ da $400$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 43}{4 \cdot 100}}$

Passaggio 5.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 43}{4 \cdot 100}}$

Passaggio 5.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{43}{100}}$

Passaggio 5.3.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{43}{100}}$ come $\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{100}}$ .

$\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{100}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{10^{2}}}$

Passaggio 5.3.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{43}}{10}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{129}}{20})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{129}}{20})$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{129}}{20}), (\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{129}}{20})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{43}}{10})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{43}}{10})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{43}}{10}), (\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{43}}{10})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{129}}{20})}^{2} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}}}{\frac{\sqrt{129}}{20}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{129}}{20})}^{2} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{129}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{129}}^{2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi ${\sqrt{129}}^{2}$ come $129$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{129}$ come $129^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{129^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{129^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{129^{1}}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{129}{20^{2}} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + {(\frac{\sqrt{43}}{20})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{43}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{{\sqrt{43}}^{2}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi ${\sqrt{43}}^{2}$ come $43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{43}$ come $43^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{{(43^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{2}{2}}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{\frac{2}{2}}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43^{1}}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.5.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43}{20^{2}}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{129}{400} + \frac{43}{400}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{129 + 43}{400}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.6.3

Somma $129$ e $43$ .

$\sqrt{\frac{172}{400}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $172$ e $400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Scomponi $4$ da $172$ .

$\sqrt{\frac{4 (43)}{400}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.2.1

Scomponi $4$ da $400$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 43}{4 \cdot 100}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 43}{4 \cdot 100}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{43}{100}} \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{43}{100}}$ come $\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{100}}$ .

$\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{100}} \cdot \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{10^{2}}} \cdot \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{43}}{10} \cdot \frac{20}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1.1

Scomponi $10$ da $20$ .

$\frac{\sqrt{43}}{10} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.10.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{43}}{10} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.10.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{43} \frac{2}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.10.2

$\sqrt{43}$ e $\frac{2}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{\sqrt{43} \cdot 2}{\sqrt{129}}$

Passaggio 8.3.11

Combina $\sqrt{43}$ e $\sqrt{129}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{43}{129}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12

Elimina il fattore comune di $43$ e $129$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Scomponi $43$ da $43$ .

$\sqrt{\frac{43 (1)}{129}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.2.1

Scomponi $43$ da $129$ .

$\sqrt{\frac{43 \cdot 1}{43 \cdot 3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{43 \cdot 1}{43 \cdot 3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.14

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.16.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.16.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 2$

Passaggio 8.3.17

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3}$

Passaggio 8.3.18

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{43}}{20^{2}}}{\sqrt{43}}}{10}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{\sqrt{43}}{20^{2}}}{\sqrt{43}} \cdot \frac{1}{10}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{\sqrt{43}}{20^{2}} \cdot 1}{\sqrt{43} \cdot 10}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{43}}{400} \cdot 1}{\sqrt{43} \cdot 10}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{43}}{400}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{43}}{400}}{\sqrt{43} \cdot 10}$

Passaggio 9.3.3.3

Sposta $10$ alla sinistra di $\sqrt{43}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{43}}{400}}{10 \sqrt{43}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{43}}{400} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{43}}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $\sqrt{43}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $\sqrt{43}$ da $10 \sqrt{43}$ .

$\frac{\sqrt{43}}{400} \cdot \frac{1}{\sqrt{43} \cdot 10}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{43}}{400} \cdot \frac{1}{\sqrt{43} \cdot 10}$

Passaggio 9.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{400} \cdot \frac{1}{10}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $\frac{1}{400}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{400 \cdot 10}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $400$ per $10$ .

$\frac{1}{4000}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{4})) + \frac{1}{10}$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{4}$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{4}) + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{4})) + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- \frac{1}{4}) + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.2

$\sqrt{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.3

Riordina i fattori di $\sqrt{3} x$ .

$y = x \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.4

Per scrivere $x \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = x \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.5

$x \sqrt{3}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \sqrt{3} \cdot 4}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 11.3.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 x \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{4}$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{4}) + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{4})) + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \frac{1}{4}) + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 1 \sqrt{3} \frac{1}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.2.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$y = - \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{1}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.2.3

$\sqrt{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = - \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.3

Riordina i fattori di $- \sqrt{3} x$ .

$y = - x \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.4

Per scrivere $- x \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - x \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.5

$- x \sqrt{3}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- x \sqrt{3} \cdot 4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- x \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 12.3.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 x \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}, y = \frac{- 4 x \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{10})$

Vertici: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{129}}{20}), (\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{129}}{20})$

Fuochi: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{43}}{10}), (\frac{1}{4}, \frac{1}{10} - \frac{\sqrt{43}}{10})$

Eccentricità: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Asse focale: $\frac{1}{4000}$

Asintoti: $y = \frac{4 x \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$ , $y = \frac{- 4 x \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{10}$

Passaggio 15