Trigonometria Esempi

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ è indefinita.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ con $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ da sinistra e $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ con $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ da destra, allora $y = - \sqrt{7}$ è un asintoto verticale.

$y = - \sqrt{7}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ con $y$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ con $y$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $y = - 2$ è un asintoto verticale.

$y = - 2$

Passaggio 4

Poiché $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ con $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ da sinistra e $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ con $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ da destra, allora $y = \sqrt{7}$ è un asintoto verticale.

$y = \sqrt{7}$

Passaggio 5

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Passaggio 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ è un'equazione di una linea; ciò significa che non ci sono asintoti orizzontali.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 7

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.1.1

Riordina i termini.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Passaggio 7.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

Passaggio 7.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

Passaggio 7.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y + 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

Passaggio 7.2

Espandi $(y + 2) (y^{2} - 7)$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

Passaggio 7.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

Passaggio 7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Passaggio 7.2.4

Riordina $y$ e $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Passaggio 7.2.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Passaggio 7.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Passaggio 7.2.7

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

Passaggio 7.2.9

Sposta $- 7 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Passaggio 7.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

Passaggio 7.4

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Passaggio 7.5

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 0$

Passaggio 8

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 0$

Passaggio 9