Trigonometria Esempi

$\log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

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Passaggio 1.1

Imposta l'argomento in $\log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 | x | \sqrt{x} > 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$| x | = 0$

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $| x |$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Imposta $| x |$ uguale a $0$ .

$| x | = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Risolvi $| x | = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 | x | \sqrt{x} > 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Trova il dominio di $3 | x | \sqrt{x}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.2.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 1.2.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 0$

Passaggio 1.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 1.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 2

Per trovare il punto finale dell'espressione radicale, sostituisci il valore $x$ $0$ , che è il valore minimo nel dominio, in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Passaggio 2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 \cdot (0 \sqrt{0}))$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0})$

Passaggio 2.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0^{2}})$

Passaggio 2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = \log_{3} (0 \cdot 0)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0)$

Passaggio 2.8

Il logaritmo di zero è indefinito.

$f (0) = Undefined$

Indefinito

Passaggio 3

Il punto finale dell'espressione radicale è $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . In questo caso, il punto è $(1, 1)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot (1 \sqrt{1}))$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \sqrt{1})$

Passaggio 4.1.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Passaggio 4.1.2.6

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 4.1.2.7

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . In questo caso, il punto è $(2, \log_{3} (6 \sqrt{2}))$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 \cdot (2 \sqrt{2}))$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.2.4

La risposta finale è $\log_{3} (6 \sqrt{2})$ .

$y = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Passaggio 4.3

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(0, Undefined), (1, 1), (2, 1.95)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.95 \end{array}$

Passaggio 5