Trigonometria Esempi

x e^{- x}

$x e^{- x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

x e^{- x}

$x e^{- x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola

lim x \to \infty x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Riscrivi

x e^{- x}

$x e^{- x}$ come

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim x \to \infty x}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.2.1.3

Poiché l'esponente

x

$x$ tende a

\infty

$\infty$ , la quantità

e^{x}

$e^{x}$ tende a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2.2

Poiché

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim x \to \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ tende a

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7