Trigonometria Esempi

$36 x^{2} + 54 x = 72 + 9 y^{2} + 36 y$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $9 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$36 x^{2} + 54 x - 9 y^{2} = 72 + 36 y$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $36 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$36 x^{2} + 54 x - 9 y^{2} - 36 y = 72$

Passaggio 1.1.3

Sposta $54 x$ .

$36 x^{2} - 9 y^{2} + 54 x - 36 y = 72$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $36 x^{2} + 54 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 36$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 36}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 36}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (36)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 36}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{36}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 (3)}{36}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 36}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $36$ .

$e = 0 - \frac{2916}{144}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2916$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Scomponi $36$ da $2916$ .

$e = 0 - \frac{36 (81)}{144}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $36$ da $144$ .

$e = 0 - \frac{36 \cdot 81}{36 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 81}{36 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $\frac{81}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{81}{4}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $36 x^{2} + 54 x$ con $36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{81}{4}$ nell'equazione $36 x^{2} - 9 y^{2} + 54 x - 36 y = 72$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{81}{4} - 9 y^{2} - 36 y = 72$

Passaggio 1.4

Sposta $- \frac{81}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{81}{4}$ a entrambi i lati.

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 y^{2} - 36 y = 72 + \frac{81}{4}$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} - 36 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (- 9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 18}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 18$ .

$d = \frac{- 9 (2)}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 9 \cdot 2}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $1296$ per $- 36$ .

$e = 0 - - 36$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$e = 36$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y + 2)}^{2} + 36$ .

$- 9 {(y + 2)}^{2} + 36$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} - 36 y$ con $- 9 {(y + 2)}^{2} + 36$ nell'equazione $36 x^{2} - 9 y^{2} + 54 x - 36 y = 72$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} + 36 = 72 + \frac{81}{4}$

Passaggio 1.7

Sposta $36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = 72 + \frac{81}{4} - 36$

Passaggio 1.8

Semplifica $72 + \frac{81}{4} - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Scrivi $72$ come una frazione con denominatore $1$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72}{1} + \frac{81}{4} - 36$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{72}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{4} - 36$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $\frac{72}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4} - 36$

Passaggio 1.8.1.4

Scrivi $- 36$ come una frazione con denominatore $1$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4} + \frac{- 36}{1}$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $\frac{- 36}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4} + \frac{- 36}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $\frac{- 36}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4} + \frac{- 36 \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{72 \cdot 4 + 81 - 36 \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $72$ per $4$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{288 + 81 - 36 \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica $- 36$ per $4$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{288 + 81 - 144}{4}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Somma $288$ e $81$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{369 - 144}{4}$

Passaggio 1.8.4.2

Sottrai $144$ da $369$ .

$36 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - 9 {(y + 2)}^{2} = \frac{225}{4}$

Passaggio 1.9

Dividi per $\frac{225}{4}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{36 {(x + \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{225}{4}} - \frac{9 {(y + 2)}^{2}}{\frac{225}{4}} = \frac{\frac{225}{4}}{\frac{225}{4}}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{25}{16}} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{5}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$k = - 2$

$h = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- \frac{3}{4}, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{4^{2}} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{4^{2}} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{25}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $\frac{25}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 5.3.8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25 \cdot 4}{16}}$

Passaggio 5.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 + 25 \cdot 4}{16}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Moltiplica $25$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{25 + 100}{16}}$

Passaggio 5.3.10.2

Somma $25$ e $100$ .

$\sqrt{\frac{125}{16}}$

Passaggio 5.3.11

Riscrivi $\sqrt{\frac{125}{16}}$ come $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.12.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.12.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 \sqrt{5}}{4}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{2}, - 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, - 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\frac{1}{2}, - 2), (- 2, - 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{3}{4} + \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{3}{4} - \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- \frac{3}{4} + \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2), (- \frac{3}{4} - \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}}}{\frac{5}{4}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{5}{4})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{4^{2}} + {(\frac{5}{2})}^{2}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{4^{2}} + {(\frac{5}{2})}^{2}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + {(\frac{5}{2})}^{2}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{5^{2}}{2^{2}}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{2^{2}}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{4}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{25}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{4}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Moltiplica $\frac{25}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25 \cdot 4}{4 \cdot 4}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{25}{16} + \frac{25 \cdot 4}{16}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{25 + 25 \cdot 4}{16}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Moltiplica $25$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{25 + 100}{16}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.11.2

Somma $25$ e $100$ .

$\sqrt{\frac{125}{16}} \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{125}{16}}$ come $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{\sqrt{25 (5)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.13.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.13.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.15

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5})}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.15.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Passaggio 8.3.15.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.3.15.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{4} \cdot 4$

Passaggio 8.3.15.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{5}{2^{2}}}{5 \sqrt{5}}}{4}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{5}{2^{2}}}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{5}{2^{2}} \cdot 1}{5 \sqrt{5} \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5}{4} \cdot 1}{5 \sqrt{5} \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $1$ .

$\frac{\frac{5}{4}}{5 \sqrt{5} \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{\frac{5}{4}}{20 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Scomponi $5$ da $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5 (4 \sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5 (4 \sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4 \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{4 (4 \sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{16 \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{1}{16 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{16 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{16 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 9.3.9.2

Sposta $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.9.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Passaggio 9.3.9.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Passaggio 9.3.9.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{5}}{16 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.9.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 9.3.9.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.9.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.9.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.9.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.9.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{16 \cdot 5^{1}}$

Passaggio 9.3.9.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5}}{16 \cdot 5}$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $16$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{80}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm 2 \cdot (x - (- \frac{3}{4})) - 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $- \frac{3}{4}$ .

$y = 2 \cdot (x + \frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \cdot (x - (- \frac{3}{4})) - 2$

Passaggio 11.3

Semplifica $2 \cdot (x - (- \frac{3}{4})) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $- (- \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 2 \cdot (x + 1 (\frac{3}{4})) - 2$

Passaggio 11.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$y = 2 \cdot (x + \frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 11.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 x + 2 (\frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 11.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = 2 x + 2 \frac{3}{2 (2)} - 2$

Passaggio 11.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 x + 2 \frac{3}{2 \cdot 2} - 2$

Passaggio 11.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 x + \frac{3}{2} - 2$

Passaggio 11.3.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x + \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 11.3.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x + \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 2 x + \frac{3 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 11.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y = 2 x + \frac{3 - 4}{2}$

Passaggio 11.3.5.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$y = 2 x + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 2 x - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $- \frac{3}{4}$ .

$y = - 2 \cdot (x + \frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - 2 \cdot (x - (- \frac{3}{4})) - 2$

Passaggio 12.3

Semplifica $- 2 \cdot (x - (- \frac{3}{4})) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $- (- \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - 2 \cdot (x + 1 (\frac{3}{4})) - 2$

Passaggio 12.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$y = - 2 \cdot (x + \frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 12.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 2 x - 2 (\frac{3}{4}) - 2$

Passaggio 12.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = - 2 x + 2 (- 1) \frac{3}{4} - 2$

Passaggio 12.3.1.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = - 2 x + 2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} - 2$

Passaggio 12.3.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y = - 2 x + 2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} - 2$

Passaggio 12.3.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - 2 x - 1 (\frac{3}{2}) - 2$

Passaggio 12.3.1.4

Riscrivi $- 1 (\frac{3}{2})$ come $- (\frac{3}{2})$ .

$y = - 2 x - \frac{3}{2} - 2$

Passaggio 12.3.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 x - \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 12.3.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 x - \frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 12.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - 2 x + \frac{- 3 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 12.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y = - 2 x + \frac{- 3 - 4}{2}$

Passaggio 12.3.5.2

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$y = - 2 x + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 12.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - 2 x - \frac{7}{2}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = 2 x - \frac{1}{2}, y = - 2 x - \frac{7}{2}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- \frac{3}{4}, - 2)$

Vertici: $(\frac{1}{2}, - 2), (- 2, - 2)$

Fuochi: $(- \frac{3}{4} + \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2), (- \frac{3}{4} - \frac{5 \sqrt{5}}{4}, - 2)$

Eccentricità: $\sqrt{5}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{5}}{80}$

Asintoti: $y = 2 x - \frac{1}{2}$ , $y = - 2 x - \frac{7}{2}$

Passaggio 15