Trigonometria Esempi

$f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2 (x^{2 - 25})}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $- 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} - 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$

Passaggio 2.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi ${(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ come $e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$

Passaggio 2.2.2

Espandi $\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})$ spostando $\frac{2}{x^{23}}$ fuori dal logaritmo.

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite.

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Passaggio 2.3.1

Sposta il limite nell'esponente.

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Passaggio 2.3.2

$\frac{2}{x^{23}}$ e $\ln (x - 4)$ .

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Passaggio 2.4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 2 e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 4)}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Passaggio 2.4.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Passaggio 2.4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 2.4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}$

Passaggio 2.4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 4$ .

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Passaggio 2.4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x - 4}$ per $1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Passaggio 2.4.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 23$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{23 x^{22}}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{23 x^{22}}}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $\frac{1}{x - 4}$ per $\frac{1}{23 x^{22}}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) \cdot 23 x^{22}}}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $\frac{1}{23}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) x^{22}}}$

Passaggio 2.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{(x - 4) x^{22}}$ tende a $0$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) \cdot 0}$

Passaggio 2.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.7.1

$2$ e $\frac{1}{23}$ .

$- 2 e^{\frac{2}{23} \cdot 0}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $\frac{2}{23}$ per $0$ .

$- 2 e^{0}$

Passaggio 2.7.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 3

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - 2$

Passaggio 4

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 5

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 2$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6