Trigonometria Esempi

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Passaggio 1

Dividi per $\tan (x)$ ciascun termine in $\tan (x) < 2 \sin (x)$ e semplifica.

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Passaggio 1.1

Dividi per $\tan (x)$ ciascun termine in $\tan (x) < 2 \sin (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $\tan (x)$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.1

Frazioni separate.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 1.3.4

Scrivi $\sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Passaggio 1.3.6

Dividi $2$ per $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Riscrivi in modo che $\cos (x)$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$2 \cos (x) > 1$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) > 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) > 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Passaggio 6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 7.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

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Passaggio 10.1

Imposta l'argomento in $\tan (x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.31$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $1.31$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $3.74708097$ non è minore del lato destro di $1.9323699$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 0.14254654$ è minore del lato destro di $0.28224001$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 3.380515$ è minore del lato destro di $- 1.91784854$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $- 0.29100619$ non è minore del lato destro di $- 0.55883099$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Testa un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 7.59$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $x$ con $7.59$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Passaggio 12.5.3

Il lato sinistro di $3.69973691$ non è minore del lato destro di $1.93071743$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.6

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.6.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 9$

Passaggio 12.6.2

Sostituisci $x$ con $9$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Passaggio 12.6.3

Il lato sinistro di $- 0.45231565$ è minore del lato destro di $0.82423697$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.7

Testa un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.7.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 11$

Passaggio 12.7.2

Sostituisci $x$ con $11$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Passaggio 12.7.3

Il lato sinistro di $- 225.95084645$ è minore del lato destro di $- 1.99998041$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.8

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Vero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vero

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Vero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vero

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Passaggio 14

Combina gli intervalli.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15