Trigonometria Esempi

$\tan (2 a) > 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $a$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 a > \arctan (1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$2 a > \frac{π}{4}$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a > \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a > \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$a > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$a > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$a > \frac{π}{8}$

Passaggio 4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 a = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.1.4

Somma $π \cdot 4$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$2 a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $4 \cdot π$ e $π$ .

$2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$

Passaggio 5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$a = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$a = \frac{5 π}{8}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\tan (2 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 2 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\tan (2 a)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\tan (2 a) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta l'argomento in $\tan (2 a)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 a = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = \frac{π}{2} + π n$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = \frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$a = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$a = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $a$ che rendono definita l'espressione.

${a | a \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$a = 0.59$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $a$ con $0.59$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (2 (0.59)) > 1$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $2.42726636$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$a = 1$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $a$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (2 (1)) > 1$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 2.18503986$ non è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Vero

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Falso

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Vero

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < a < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13