Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Passaggio 1

Dividi per $\cos (2 x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Passaggio 2

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $\cos (2 x)$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (2 x) > 1$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x > \arctan (1)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > \frac{π}{4}$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Passaggio 7

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 8.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 8.1.4

Somma $π \cdot 4$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 8.1.4.2

Somma $4 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Passaggio 9

Trova il periodo di $\tan (2 x)$ .

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Passaggio 9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 9.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 2 |}$

Passaggio 9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 10

Il periodo della funzione $\tan (2 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ è maggiore del lato destro di $- 0.41614683$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (3)) > \cos (2 (3))$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 0.27941549$ non è maggiore del lato destro di $0.96017028$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Vero

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Falso

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Vero

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14