Trigonometria Esempi

$y = \frac{4 \log_{3} (x)}{11 x^{3}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\log_{3} (x^{4})}{11 x^{3}}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 3$

Passaggio 1.4

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{4 \log_{3} (1)}{11 {(1)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $4 \log_{3} (1)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1^{3}}$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1)}{11 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.3.2

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{0}{11 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $11$ per $1$ .

$f (1) = \frac{0}{11}$

Passaggio 2.2.4.2

Dividi $0$ per $11$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{11 {(2)}^{3}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $4 \log_{3} (2)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 2^{3}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 8}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{11 \cdot 8}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $11$ per $8$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{88}$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi $\log_{3} (16)$ come $\log_{3} (2^{4})$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{88}$

Passaggio 3.2.6

Espandi $\log_{3} (2^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{88}$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ e $88$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Scomponi $4$ da $4 \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{4 (\log_{3} (2))}{88}$

Passaggio 3.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $88$ .

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Passaggio 3.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Passaggio 3.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2)}{22}$

Passaggio 3.2.8

Riscrivi $\frac{\log_{3} (2)}{22}$ come $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{22} \cdot \log_{3} (2)$

Passaggio 3.2.9

Semplifica $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ spostando $\frac{1}{22}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Passaggio 3.2.10

La risposta finale è $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ .

$\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Passaggio 3.3

Converti $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ in decimale.

$y = 0.02867862$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 {(3)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $4 \log_{3} (3)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 3^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 27}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $4$ dall'esponente.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 \cdot 27}$

Passaggio 4.2.3.2

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (3) = \frac{4 \cdot 1}{11 \cdot 27}$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (3) = \frac{4}{11 \cdot 27}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $11$ per $27$ .

$f (3) = \frac{4}{297}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $\frac{4}{297}$ .

$\frac{4}{297}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{4}{297}$ in decimale.

$y = 0.\overline{013468}$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 0.02867862), (3, 0.\overline{013468})$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.029 \\ 3 & 0.013 \end{array}$

Passaggio 6