Trigonometria Esempi

$y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Per qualsiasi $y = \csc (x)$ , gli asintoti verticali si verificano con $x = n π$ , dove $n$ è numero intero. Utilizza il periodo di base per $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , per trovare gli asintoti verticali per $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ . Imposta l'interno della funzione cosecante, $b x + c$ , per $y = a \csc (b x + c) + d$ uguale a $0$ per trovare dove gli asintoti verticali si verificano per $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Passaggio 1.3

Imposta l'interno della funzione cosecante $2 x + \frac{π}{4}$ pari a $2 π$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.4.1.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.4.1.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.4.1.3

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 1.4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 1.4.1.5.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Passaggio 1.5

Il periodo di base per $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ si verificherà a $(- \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8})$ , dove $- \frac{π}{8}$ e $\frac{7 π}{8}$ sono asintoti verticali.

$(- \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8})$

Passaggio 1.6

Trova il periodo $\frac{2 π}{| b |}$ per determinare dove sono presenti asintoti verticali. Si hanno asintoti verticali ogni mezzo periodo.

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Passaggio 1.6.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.6.2.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.7

Si hanno asintoti verticali di $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ con $- \frac{π}{8}$ , $\frac{7 π}{8}$ e con ogni $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , dove $n$ è un intero. Questo è mezzo periodo.

$x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$

Passaggio 1.8

La cosecante ha solo asintoti verticali.

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ dove $n$ è un intero

Nessun asintoto orizzontale

Nessun asintoto obliquo

Asintoti verticali: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ dove $n$ è un intero

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \csc (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

Passaggio 3

Poiché il grafico della funzione $c s c$ non ha un valore massimo o minimo, non possono esserci dei valori per l'ampiezza.

Ampiezza: nessuna

Passaggio 4

Trova il periodo di $- 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 4.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 4.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 4.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

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Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

Sfasamento: $- \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

Sfasamento: $- \frac{π}{8}$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: nessuna

Periodo: $π$

Sfasamento: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ dove $n$ è un intero

Ampiezza: nessuna

Periodo: $π$

Sfasamento: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 8