Trigonometria Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 + 12$

Passaggio 1

Somma $- 8$ e $12$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$

Passaggio 2

Scomponi $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 + 2 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$3 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 2.3.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$3 - 7 \cdot 1 + 4$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$3 - 7 + 4$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $7$ da $3$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.3.9

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 2.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 2.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Passaggio 2.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)$