Trigonometria Esempi

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Semplifica ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ come $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Espandi $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 1.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 1.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.4

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.5

Applica l'identità pitagorica.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.6.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 1.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$1 + \sin (2 x) = 1 + \sin (2 x)$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, 0.3, \frac{2}{5}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{3}{5}$

Passaggio 3